Ensino Superior ⇒ Limite de Função de Duas Variáveis Tópico resolvido

[raimundojr]

Mostre que o limite a seguir é igual a 2:
[tex3]\lim_{(x, y)\rightarrow (0, 0)}\,\,\frac{x^4+x^2y^2}{x^2\sqrt{(y-1)^2+2y+(x+2)^2-4x-4}-x^2}[/tex3]

[theblackmamba]

No denominador da raiz:

[tex3]y^2-2y+1+2y+x^2+4x+4-4x-4=x^2+y^2+1[/tex3]

Simplificando o limite no denominador e numerador por [tex3]x^2[/tex3] a vamos ter:

[tex3]\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}\,\,\frac{x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2+1}-1}[/tex3]


Por coordenadas polares:
[tex3]x=r \cos \theta[/tex3]
[tex3]y=r \sin \theta[/tex3]

[tex3]\lim_{r\rightarrow 0}\,\,\frac{r^2(\cos^2\theta +\sin^2\theta)}{\sqrt{r^2\cdot (\cos^2\theta + \sin^2\theta)+1}-1}=[/tex3]
[tex3]\lim_{r \to 0}\,\frac{r^2 }{\sqrt{r^2+1}-1}\times \frac{\sqrt{r^2+1}+1}{\sqrt{r^2+1}+1}=[/tex3]
[tex3]=\lim_{r \to 0}\,\sqrt{r^2+1}+1=\boxed{2}[/tex3]. CQD.

Abraço.