Ensino Superior ⇒ Teorema de Rolle Tópico resolvido

[Kssy]

Considere a função [tex3]f(x) =x^{3} - 2x^{2} + 4[/tex3] definida no intervalo [tex3][\,0\,,\,2\,][/tex3]. Verifique que as hipóteses do Teorema de Rolle são satisfeitas e determine um ponto do gráfico de [tex3]f[/tex3] cuja reta tangente é paralela ao eixo [tex3]x[/tex3] das abscissas.

[candre]

o Teorema de Rolle diz que [tex3]f(x)[/tex3] e uma função continua no intervalo fechado [tex3][a|b][/tex3] e diferenciável em todo esse intervalo, se [tex3]f(a)=f(b)[/tex3], então existe um [tex3]c\in[a|b][/tex3] tal que [tex3]f'(c)=0[/tex3]
no caso [tex3]f(x)=x^3-2x^2+4[/tex3] que sabemos ser continua, pois e um polinomial, sendo o intervalo [tex3][0|2][/tex3] temos:
[tex3]f(0)=0^3-2\cdot0^2+4=4\\
f(2)=2^3-2\cdot2^2+4=8-2\cdot4+4=\cancel{8-8}+4=4[/tex3]
como [tex3]f(0)=f(2)[/tex3] a hipótese o Teorema de Rolle e satisfeita, logo existe um [tex3]c\in[0|2][/tex3] tal que [tex3]f'(c)=0[/tex3]
calculando a primeira derivada temos:
[tex3]f'(x)=[x^3-2x^2+4]'=3x^2-4x=x(3x-4)[/tex3]
temos que o ponto em que a reta tangente seja paralela ao eixo [tex3]x[/tex3] implica que o angulo da reta tangente é [tex3]0[/tex3], tendo [tex3]f'=\tan(\alpha)=\tan(0)=0[/tex3], portanto a derivada sera nula neste ponto.
fazendo [tex3]f'(x)=0[/tex3] temos:
[tex3]f'(x)=x(3x-4)=0\Rightarrow x=0\text{ ou }3x-4=0\Rightarrow x=\frac{4}{3}[/tex3]
logo os pontos são [tex3]x=0[/tex3] e [tex3]x=\frac{4}{3}[/tex3], sendo que ambos pertencem ao intervalo [tex3][0|2][/tex3], logo existe um valor de [tex3]c\in[0|2][/tex3] tal que [tex3]f'(c)=0[/tex3] como previsto pelo Teorema de Rolle.