Ensino Superior ⇒ Geometria Analítica Tópico resolvido

[capixaba]

As retas [tex3]y = ax + b[/tex3] e [tex3]y = a'x + b'[/tex3] são perpendiculares e contêm p ponto [tex3](x_0,\,y_0)[/tex3]. Conhecendo [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3], determine [tex3]a'[/tex3] e [tex3]b'[/tex3].

[petrasMOD]

@capixaba,

Duas retas não verticais são perpendiculares se, e somente se, o produto de seus coeficientes angulares for igual a -1.
a . a' = -1
Portanto, [tex3]\boxed{a' = -\frac{1}{a}(a \neq 0)}[/tex3].
A segunda reta também contém o ponto [tex3](x_0, y_0)[/tex3]. Substituindo as coordenadas do ponto e o valor de a' na equação geral da reta y = a'x + b', temos:[tex3]y_0 = a'x_0 + b'[/tex3]
Substituindo a':[tex3]y_0 = \left(-\frac{1}{a}\right)x_0 + b' \implies \boxed{b' = y_0 + \frac{x_0}{a}}[/tex3]
Exemplo : Se a reta original for y = 2x + 1 e o ponto for (3, 4):
a = 2
[tex3]a' = -\frac{1}{2} = -0,5[/tex3]
[tex3]b' = 4 + \frac{3}{2} = \frac{11}{2} = 5,5[/tex3]
A equação da reta perpendicular será [tex3]y = -0,5x + 5,5[/tex3]