Ensino Superior ⇒ Arco de Parábola

[JTORRES]

A entrada de uma churrascaria e um arco de uma parábola, cuja altura máxima mede 3,0 m e os pontos A e B situados na base do arco, distam 4,0 m um do outro, as bases das portas de vidro da entrada da churrascaria medem 1,0 m cada uma. Determine a área de cada porta de vidro

a) 5,40 m²
b) 2,75 m²
c) 2,35 m²
d) 3,75 m²
e) 1,75 m²

[petrasMOD]

@JTORRES,
Enunciado correto: A entrada de uma churrascaria tem a forma de um arco de parábola. A altura máxima do arco é de 3,0 m e sua base, situada no solo, mede 4,0 m. Duas portas de vidro retangulares, de 1,0 m de largura cada, são colocadas na entrada, de modo que cada porta tem um dos seus lados de 1,0 m de largura contido na base do arco e o outro lado oposto a este, com seus extremos no arco. Determine a área de cada porta.

Considerando o eixo de simetria no eixo y e a base do arco sobre o eixo x:
A distância entre os pontos A e B na base é de 4,0 m. Portanto, as raízes são [tex3]x_1 = -2[/tex3] e [tex3]x_2 = 2[/tex3].
A altura máxima é de 3,0 m, ocorrendo no vértice V(0, 3).
Usando a forma fatorada da equação da parábola [tex3]y = a(x - x_1)(x - x_2):\\
y = a(x + 2)(x - 2) \implies y = a(x^2 - 4)[/tex3]

Substituindo o vértice (0, 3) para encontrar o valor de a:
[tex3]3 = a(0^2 - 4)\\
3 = -4a \implies a = -0,75\\
\therefore y = -0,75(x^2 - 4) = -0,75x^2+3[/tex3]

Para encontrar a área exata de uma das portas (por exemplo, a que vai de 0 a 1 no eixo x): [tex3]\text{Área} = \int_{0}^{1} (-0,75x^2 + 3) \, dx[/tex3]
Aplicando a regra da potência:[tex3]\text{Área} = \left[ -0,75 \cdot \frac{x^3}{3} + 3x \right]_0^1 = \left[ -0,25x^3 + 3x \right]_0^1[/tex3]
Substituindo os limites de integração:[tex3] \text{Área} = (-0,25(1)^3 + 3(1)) - (-0,25(0)^3 + 3(0)) \implies \text{Área} = -0,25 + 3\\\boxed{\text{Área} = 2,75\text{ m}^2}[/tex3]