Ensino Superior ⇒ Distância relativa entre Círculos

[Auto Excluído (ID: 25575)]

1. Considere os círculos [tex3]C_{1}[/tex3] : [tex3]x^{2}+y^{2}-3x-6y+10=0[/tex3] e [tex3]C_{2}[/tex3] : [tex3]x^{2}+y^{2}-5=0[/tex3].

(a) Mostre que os círculos são tangentes.
(b) Encontre a equação do círculo [tex3]C_{3}[/tex3] tangente a [tex3]C_{1}[/tex3] e [tex3]C_{2}[/tex3], passando por Q = [tex3]C_{1}[/tex3]∩[tex3]C_{2}[/tex3] e pelo ponto P = (7, 2)
(c) Faça em um mesmo sistema de eixos coordenados os esboços de [tex3]C_{1}[/tex3], [tex3]C_{2}[/tex3] e [tex3]C_{3}[/tex3], determinando os pontos de interseções de cada círculo com os eixos coordenados , caso existam.

Resposta

---

[tex3]C_{1} = (\frac{3}{2},3)[/tex3] e [tex3]C_{2}[/tex3]=(0,0). Na letra A eu consegui achar esses centros porém não estou conseguindo prosseguir, alguém me ajuda?

[ALANSILVA]

Para que as circunferências sejam tangentes exteriores é preciso que [tex3]d=R+r[/tex3], onde [tex3]d[/tex3] é a distância dos centros.

Temos que [tex3]C_1: (x-\frac{3}{2})^2+(y-3)^2=\frac{5}{4}[/tex3], [tex3]O=(\frac{3}{2},3)[/tex3]
[tex3]C_2: x^2+y^2=5[/tex3], [tex3]O'=(0,0)[/tex3]

Verifique se [tex3]d=R+r[/tex3] for verdadeira as circunferências são tangentes exteriores.

[ALANSILVA]

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[Auto Excluído (ID: 25575)]

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Eu cheguei a fazer e ficou assim. No caso tá certo? E como eu faria para continuar nas questões "b" e "c"?

[Auto Excluído (ID: 25575)]

Eu não sei se é permitido, mas poderia me informar o nome desse livro da FT ?

[ALANSILVA]

Eu não sei se é permitido, mas poderia me informar o nome desse livro da FT ?

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[ALANSILVA]

MathMatic, bom dia
Essa letra b está correta, pois não consigo entender que [tex3]C_3[/tex3] é tangente a [tex3]C_1[/tex3] e [tex3]C_2[/tex3] mas passa por [tex3]Q[/tex3] que é interseção de [tex3]C_1[/tex3] com [tex3]C_2[/tex3].

[petrasMOD]

A equação geral de um círculo é [tex3]x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0[/tex3]. O centro é [tex3](-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2})[/tex3] e o raio é[tex3] r = \sqrt{(\frac{D}{2})^2 + (\frac{E}{2})^2 - F}.[/tex3]

Para o Círculo [tex3]C_1: x^2 + y^2 - 3x - 6y + 10 = 0[/tex3]
Centro [tex3]C_1: (\frac{-(-3)}{2}, \frac{-(-6)}{2}) = (\frac{3}{2}, 3)[/tex3]
Raio[tex3] r_1: \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + 3^2 - 10} = \sqrt{\frac{9}{4} + 9 - 10} = \frac{\sqrt{5}}{2}[/tex3]

Para o Círculo [tex3]C_2:x^2 + y^2 - 5 = 0[/tex3]
Centro [tex3]C_2: (0, 0)[/tex3]
Raio [tex3]r_2: \sqrt{0^2 + 0^2 - (-5)} = \sqrt{5}
[/tex3]

Distância entre os centros [tex3]C_1[/tex3] e [tex3]C_2[/tex3]:
[tex3]d(C_1, C_2) = \sqrt{(\frac{3}{2} - 0)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + 9} = \sqrt{\frac{9 + 36}{4}} = \sqrt{\frac{45}{4}} = \frac{\sqrt{45}}{2} = \frac{3\sqrt{5}}{2}[/tex3]

Comparado essa distância com a soma dos raios:
[tex3]r_1 + r_2 = \frac{\sqrt{5}}{2} + \sqrt{5} = \frac{\sqrt{5} + 2\sqrt{5}}{2} = \frac{3\sqrt{5}}{2}
[/tex3]
Como a distância entre os centros [tex3]d(C_1, C_2) = \frac{3\sqrt{5}}{2}[/tex3] é igual à soma dos raios [tex3]r_1 + r_2 = \frac{3\sqrt{5}}{2},[/tex3] os círculos são tangentes externamente.

b) Encontrando a equação do círculo [tex3] C_3[/tex3]

P ponto de tangência [tex3]Q = C_1 \cap C_2[/tex3].
[tex3]C_2 - C_1:[/tex3]
[tex3](x^2 + y^2 - 3x - 6y + 10) - (x^2 + y^2 - 5) = 0\\
-3x - 6y + 15 = 0 \implies x + 2y - 5 = 0 \implies x = 5 - 2y[/tex3]

Substitua esta expressão para x na equação de [tex3]C_2[/tex3]:
[tex3](5 - 2y)^2 + y^2 - 5 = 0\\
25 - 20y + 4y^2 + y^2 - 5 = 0\\
5y^2 - 20y + 20 = 0\\
y^2 - 4y + 4 = 0\\
(y - 2)^2 = 0 \implies y = 2[/tex3]
[tex3]\therefore x = 5 - 2(2) = 5 - 4 = 1[/tex3]
Assim, o ponto de tangência Q = (1, 2).

Como [tex3]C_3[/tex3] é tangente a [tex3]C_1 [/tex3]e [tex3]C_2[/tex3] em Q, seu centro deve estar na reta que conecta os centros de [tex3]C_1[/tex3] e [tex3] C_2[/tex3]. O centro de [tex3]C_1[/tex3] é [tex3](\frac{3}{2}, 3)[/tex3] e o centro de [tex3]C_2 ~é~ (0, 0)[/tex3].

A inclinação da reta que passa por [tex3]C_1[/tex3] e [tex3]C_2[/tex3] é [tex3]m = \frac{3 - 0}{\frac{3}{2} - 0} = \frac{3}{\frac{3}{2}} = 2.[/tex3]
A equação dessa reta é [tex3]y - 0 = 2(x - 0) \implies y = 2x.[/tex3]

Seja o centro de [tex3]C_3[/tex3] como (h, k). Como o centro está na linha y=2x, temos k = 2h.
A equação de [tex3]C_3[/tex3] é [tex3](x - h)^2 + (y - k)^2 = r_3^2.[/tex3]
Sabemos que [tex3]C_3[/tex3] passa pelos pontos Q = (1, 2) e P = (7, 2).

Para Q = (1, 2):
[tex3](1 - h)^2 + (2 - k)^2 = r_3^2[/tex3]
Para P = (7, 2):
[tex3](7 - h)^2 + (2 - k)^2 = r_3^2[/tex3]

Igualando :
[tex3](1 - h)^2 + (2 - k)^2 = (7 - h)^2 + (2 - k)^2\\
(1 - h)^2 = (7 - h)^2\\
1 - 2h + h^2 = 49 - 14h + h^2\\
1 - 2h = 49 - 14h\\
12h = 48 \implies h = 4[/tex3]

[tex3]\therefore k = 2h = 2(4) = 8[/tex3]
Então, o centro de [tex3]C_3[/tex3] é (4, 8 ).

Agora, calculamos o raio [tex3]r_3[/tex3] usando o ponto Q = (1, 2):
[tex3]r_3^2 = (1 - 4)^2 + (2 - 8 )^2 = (-3)^2 + (-6)^2 = 9 + 36 = 45\\r_3 = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}[/tex3]
A equação do círculo [tex3]C_3[/tex3] é [tex3]\boxed{(x - 4)^2 + (y - 8 )^2 = 45}[/tex3].

c) Os pontos de interseção de cada círculo com os eixos coordenados

Círculo [tex3]C_1: x^2 + y^2 - 3x - 6y + 10 = 0[/tex3]
Interseção com o eixo x (y=0):
[tex3]x^2 - 3x + 10 = 0[/tex3]
Como [tex3]\Delta < 0[/tex3], não há interseções reais com o eixo x.
Interseção com o eixo y (x=0):
[tex3]y^2 - 6y + 10 = 0[/tex3]
Como [tex3] \Delta < 0[/tex3], não há interseções reais com o eixo y.

Círculo [tex3]C_2: x^2 + y^2 - 5 = 0[/tex3]
Interseção com o eixo x (y=0):
[tex3]x^2 - 5 = 0 \implies x^2 = 5 \implies x = \pm\sqrt{5}[/tex3]
Pontos: [tex3](-\sqrt{5}, 0)~ e~(\sqrt{5}, 0)[/tex3]
Interseção com o eixo y (x=0):
[tex3]y^2 - 5 = 0 \implies y^2 = 5 \implies y = \pm\sqrt{5}[/tex3]
Pontos:[tex3](0, -\sqrt{5}) ~e~ (0, \sqrt{5})[/tex3]

Círculo [tex3]C_3: (x - 4)^2 + (y - 8 )^2 = 45[/tex3]
Interseção com o eixo x (y=0):
[tex3](x - 4)^2 + (0 - 8 )^2 = 45 \implies \cancel{(x - 4)^2 = -19}[/tex3]
Não há interseções com o eixo x.
Interseção com o eixo y (x=0):
[tex3](0 - 4)^2 + (y - 8 )^2 = 45\\16 + (y - 8 )^2 = 4\\
(y - 8 )^2 = 29 \implies y = 8 \pm\sqrt{29}[/tex3]
Pontos: [tex3](0, 8 - \sqrt{29})~ e ~(0, 8 + \sqrt{29})[/tex3]

[ALANSILVA]

[tex3]C_2-C_1[/tex3]
[tex3](x^2 + y^2 - 3x - 6y + 10) - (x^2 + y^2 - 5) = 0\\
-3x - 6y + 15 = 0 \implies x + 2y - 5 = 0 \implies x = 5 - 2y[/tex3]

@petrasMOD isso é redução da equação??

[petrasMOD]

@ALANSILVA

Se as duas circunferências forem tangentes entre si, a subtração de suas equações nos dá a equação da reta que é a tangente comum a ambas as circunferências no ponto de tangência.