Ensino Superior ⇒ Geometria tetaedro 1 Tópico resolvido

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Dados os pontos A = (2, 4, 0), B = (0, 2, 4), C = (6, 0, 2), calcular:


a altura do tetraedro OABC relativa a O (origem).

[petrasMOD]

Para calcular a altura do tetraedro OABC relativa à origem O(0, 0, 0), precisamos encontrar a distância do ponto O ao plano que contém os pontos A, B e C.
A altura h será a distância perpendicular da origem ao plano ABC
Primeiro, encontramos dois vetores que pertencem ao plano:[tex3]\vec{AB} = B - A = (0-2, 2-4, 4-0) = (-2, -2, 4)\\\vec{AC} = C - A = (6-2, 0-4, 2-0) = (4, -4, 2)[/tex3]
O vetor normal [tex3]\vec{n}[/tex3] ao plano é o produto vetorial[tex3] \vec{AB} \times \vec{AC}\\{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2 & -2 & 4 \\ 4 & -4 & 2 \end{vmatrix}\\\vec{n} = \mathbf{i}((-2)(2) - (4)(-4)) - \mathbf{j}((-2)(2) - (4)(4)) + \mathbf{k}((-2)(-4) - (-2)(4))\\
\vec{n} = \mathbf{i}(-4 + 16) - \mathbf{j}(-4 - 16) + \mathbf{k}(8 + 8)\\
\vec{n} = (12, 20, 16) = [/tex3]
Podemos simplificar o vetor normal dividindo por 4: [tex3]\vec{n'} = (3, 5, 4).[/tex3]
A equação geral do plano é 3x + 5y + 4z + d = 0.
Substituindo o ponto A(2, 4, 0):[tex3]3(2) + 5(4) + 4(0) + d = 0 \implies 6 + 20 + d = 0 \implies d = -26[/tex3].
Equação do plano: 3x + 5y + 4z - 26 = 0
A fórmula da distância de um ponto $[tex3](x_0, y_0, z_0)$[/tex3] a um plano [tex3]ax + by + cz + d = 0:h = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}[/tex3]
Substituindo os valores:[tex3]h = \frac{|3(0) + 5(0) + 4(0) - 26|}{\sqrt{3^2 + 5^2 + 4^2}} = \frac{|-26|}{\sqrt{9 + 25 + 16}} = \frac{26}{\sqrt{50}}=\frac{26}{5\sqrt2} = \boxed{2,6\sqrt2\approx 3,68}[/tex3]