Cap. 7 - Cuadriláteros ⇒ Solucionário:Racso - Cap VII - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:26 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Problema Proposto
26 - Dado um trapezoide ABCD, tal que: AB = CD = 6, [tex3]\measuredangle ABD = 75^o ~e~\measuredangle BDC = 15^o[/tex3].
Calcular a medida do segmento que une o ponto médio das diagonais.

Resposta

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C) 3

[petrasMOD]

[tex3]\text{P : ponto médio AC e Q ponto médio de BD}\\
\triangle GQD = \alpha = 180^o-75-\theta = 105^o-\theta \\\theta +15^o+\beta (ângulo ~externo) = 75^o+\theta (\triangle QBD)\\
\measuredangle PGA = \measuredangle CDA = \theta +15^o
\\Paralela ~por ~G ~a~CD: base~média ~\triangle ADC \therefore GP = \frac{CD}{2}=\frac{6}{2} = 3
\\Paralela ~por ~G ~a~AB: base~média ~\triangle ABD \therefore GQ = \frac{AB}{2}=\frac{6}{2} = 3\\
\theta + 15^o+\beta+\underbrace{\alpha}_{105-\theta} = 180^o \implies \theta +15+\beta +105-\theta = 180 \\
\therefore \beta = 60^0 \implies \triangle PQG ~é~equilátero \therefore \boxed{\color{red}PQ = PG = 3}[/tex3]