Cap. 8 - Circunferencia I ⇒ Solucionário:Racso - Cap VIII - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:18 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Problema Proposto
18 - Em uma semicircunferência de diâmetro AC, se inscreve um triângulo ABC, se une os pontos
médios de AB, e BC cm os vértices C e A que se interceptam nos pontos E e F com os lados AB e
BC respectivamente. Depos traçamos EH e FG perpendicular a AC. Calcular o raio da circunferência
inscrita no triângulo ABC se HG = 4m.

Resposta

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B) 2m (Resposta errada do livro: E) 8m)

[jvmago]

essa é trivial man

[jvmago]

[tex3]EF//AG[/tex3] pelo teorema da base media e ja é [tex3]PIMBADA[/tex3]

[petrasMOD]

Seja X o pé da altura de D em relação a BF
- Seja Y o pé da altura de D em relação a GF
[tex3]\alpha := \angle BAD = \angle CAD[/tex3]

[tex3]\triangle DXF \cong \triangle DYF[/tex3]- , pois compartilham a hipotenusa DF e possuem ângulos iguais (pois [tex3]\angle DFX = \angle DFY = 90^{\circ} - \alpha[/tex3] e os triângulos são retângulos).

Logo [tex3]DY = DX = r[/tex3] , por definição, FG é tangente ao incírculo.

Portanto HG =2R [tex3]\rightarrow 4m = 2R \therefore \boxed{\color{red}R =2m}[/tex3]
(Solução:FelipeMartin)

[FelipeMartinMOD]

Só uns detalhes:

Seja X o pé da altura de D em relação a DF

aqui é [tex3]BF[/tex3] em vez de [tex3]DF[/tex3]. E [tex3]\alpha := \angle BAD = \angle CAD[/tex3].

Como [tex3]EH[/tex3] e [tex3]FG[/tex3] são tangentes ao incírculo e são paralelas, elas necessariamente tocam o incírculo em pontos diametralmente opostos, consequência do fato das retas tangentes serem perpendiculares aos raios nos pontos de contato.