Cap. 10 - Puntos Notables ⇒ Solucionário:Racso - Cap X - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:18 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Problema Proposto
18 - Em um triângulo ABC, [tex3]\measuredangle B=120º[/tex3].
" I "⇒ Incentro do [tex3]\triangle[/tex3] ABC.
"O"⇒ Circuncentro do [tex3]\triangle[/tex3] ABC
"E" ⇒ Excentro do [tex3]\triangle[/tex3] ABC relativo ao lado BC.
Calcular a m[tex3]\measuredangle[/tex3] IEO.

Resposta

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C) 30^o (Resposta errada do livro E) 60^o

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Pela propiedade do excentro [tex3]\measuredangle AEG=\frac{120}{2}=60^o \implies \measuredangle ICE = 90^0\\
[/tex3]
[tex3]

∠OAE=∠30^∘+∠CAE=∠30^∘+(180^o-90^0-60^0-\frac{\angle C}{2}) =30^o+\frac{1}{2}(60^∘−∠C)\\

\therefore ∠OAE=60^∘−\frac{∠C}{2}(1)\\

∠OCE=30^o+∠ACE=30^∘+(90^∘+\frac{∠C}{2})\\

\therefore ∠OCE=120^∘+\frac{∠C}{2}(2)\\

∠OAE+∠OCE=180^∘ \implies OAEC ~é ~cíclico.\\

∴\boxed{\color{red}∠IEO=∠ACO=30^∘}[/tex3]
(Soução:MathLover)