Cap. 10 - Puntos Notables ⇒ Solucionário:Racso - Cap X - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:24 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Propblema Proposto
24 - Em um triângulo retângulo ABC, a bissetriz interior BD é traçada, onde I é o incentro, [tex3] \measuredangle B = 90 ^ o[/tex3] e 3BI = 4ID. Encontrar a relação entre os comprimentos do circumraio e do inraio do [tex3]\triangle [/tex3]ABC.

Resposta

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A) 3

[Ittalo25MOD]

Seja r o incentro e R o circuncentro de ABC.

Pelo Teorema de Poncelet: [tex3]BA+BC = AC+2r [/tex3]

Como ABC é retângulo, então: [tex3]R = \frac{AC}{2}[/tex3]

Teorema da bissetriz interna em ABD: [tex3]\frac{BA}{BI}=\frac{DA}{DI}[/tex3]

Teorema da bissetriz interna em CBD: [tex3]\frac{BC}{BI}=\frac{DC}{DI}[/tex3]

Portanto:
[tex3]BA+BC = AC+2r [/tex3]
[tex3]\frac{DA \cdot BI}{DI}+\frac{DC \cdot BI}{DI} = 2R+2r [/tex3]
[tex3]\frac{4}{3}\cdot (DA+DC) = 2R+2r[/tex3]
[tex3]\frac{4}{3}\cdot (AC) = 2R+2r[/tex3]
[tex3]\frac{4}{3}\cdot (2R) = 2R+2r[/tex3]
[tex3]\boxed{R =3r}[/tex3]