Cap. 10 - Puntos Notables ⇒ Solucionário:Racso - Cap X - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:25 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Problema Proposto
25 - Em um triângulo ABC, [tex3]\measuredangle B = 90^o [/tex3], AB < BC, se traça a altura BH
sendo M, N e I os incentros de ABH, HBC e ABC. [tex3]\measuredangle BCA = \theta [/tex3]
Calcular [tex3]\measuredangle IMN[/tex3].

Resposta

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D) [tex3]\frac{\theta}{2}[/tex3]

[petrasMOD]

[tex3]P = BH \cap MI ~e ~Q = BH \cap MN .\\

△ABH∼△BCH⟹\frac{AB}{BC}=\frac{GH}{HF}=\frac{MH}{HN}⟹△ABC∼△MHN\\

\therefore ∠HMN=90^∘−θ\\

∠MQP=45^∘+(90^∘−θ)=135^∘−θ\\

∠ABH=θ,~∠BAD=45^∘−\frac{θ}{2}⟹∠BPM=135^∘−\frac{θ}{2}\\

\therefore △PQM,~ ∠IMN=(135^∘−\frac{θ}{2})−(135^∘−θ)\implies \boxed{\color{red}\frac{θ}{2}}[/tex3]
(Solução:ACB)

[petrasMOD]

[tex3]2α=\angle A~e~ 2γ=θ=\angle C\rightarrow 90^∘=2(α+γ)\therefore α+γ=45^∘\\
\triangle ABH \sim \triangle BCH \therefore \angle ABH = 2γ ~e~ \angle HBC = 2\alpha [/tex3]

Traçar a s bissetrizes dos 3 triângulos

[tex3]M′ = AM \cap BN, e N′=CN\cap BM\\

CNN′⊥BN′M \\
Δ CN′B ~conhecemos \angle B ~e ~\angle C\\
NN′ e MM'~são~alturas~ ΔBMN\\
\therefore \boxed{\color{red}\angle IMN = \angle IBN = γ = \frac{\theta}{2}}[/tex3]
(Solução:dan_fulea)