Cap. 13 - Relaciones Métricas en Triângulos Rectângulos ⇒ Solucionário:Racso - Cap XIII - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:13 Tópico resolvido

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Problema Proposto
13 - No triângulo ABC ([tex3]\angle B = 90º[/tex3]), se traça a ceviana interior BM;
se AM = 8, MC = 10 e BM = AB . Calcular a distância de "M" ao lado BC

Resposta

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B) [tex3]\frac{10\sqrt{2}}{3}[/tex3]

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AD =x.

[tex3]\triangle ABC \sim \triangle ADH \implies \overline{AB}=\frac{18}{8}x[/tex3]

Dessa forma, achamos a medida do segmento BD.

[tex3]\overline{BD}=\overline{AB}-\overline{AD}\\\\\overline{BD}=\frac{10}{8}x[/tex3]

Lembre, ainda, que BM = AB, logo:

[tex3]\overline{BM}=\frac{18}{8}x[/tex3]

Montando Pitágoras com os triângulos ADM e BDM:

[tex3]\{\begin{matrix}8^2=x^2+\overline{DM}^2\\\Big(\frac{18}{8}x\Big)^2=\Big(\frac{10}{8}\Big)^2+\overline{DM}^2\end{matrix}[/tex3]

Substituindo DM:

[tex3]64=x^2+\Big(\frac{18}{8}x\Big)^2-\Big(\frac{10}{8}x\Big)^2[/tex3]

Desenvolvendo e calculando as soluções da equação acima conseguiremos as soluções:

[tex3]x'=\frac{8\sqrt2}{3}\\\\x"=-\frac{8\sqrt2}{3}[/tex3]

A única solução possível seria positiva, já que o lado de um triângulo não pode ser negativo.

Olhando para a figura em anexo repare que o segmento EM é igual ao segmento BD, logo:

[tex3]\overline{BD}=\frac{10}{8}x\Rightarrow\overline{EM}=\frac{10}{8}x[/tex3]

Sabendo o valor de x:
[tex3]\overline{EM}=\frac{10}{8}\cdot\frac{8\sqrt2}{3}\\\\\boxed{\color{red}{\overline{EM}=\frac{10\sqrt2}{3}}}[/tex3]
(Solução: botelho - viewtopic.php?f=4&t=56470&p=148188&hili ... AB#p148188)