Cap. 13 - Relaciones Métricas en Triângulos Rectângulos ⇒ Solucionário:Racso - Cap XIII - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:30 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Problema Proposto
30 - Calcular BC, se AP = a e PB = b

Resposta

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B) [tex3]\sqrt{{}ab}[/tex3]

[petrasMOD]

O = circuncentro
[tex3]\mathsf{Ligue ~P ~a~ T, \implies ΔPOT \cong ΔBOC (L.A.L)\\
TPO=PCB=\theta\\
\angle CPB = 90°-theta \implies \angle TPB=90°\\\therefore
BT oposto~ a ~um ~ângulo ~de~ 90°\implies BT ~é ~diámetro}[/tex3]

BC=90°.( tendo em vista que ele esta oposto ao diâmetro do circulo)
e que BT=PC, ambos são diâmetro
Pelas relações métricas da circunferência descobrimos que AT=a.(a+b)
[tex3]\mathsf{Pitágoras~ \triangle BPC ~e ~\triangle ATB\\
[tex3]b^2 +BC^2 =(2r^2) \\
(a+b)^2=a^2+(2r)^2\\
\implies b^2+BC^2 = (a+b)^2-a^2\\
\therefore \boxed{\color{red}BC = \sqrt{ab}}}[/tex3]
(Solução: golondrina - viewtopic.php?f=4&t=88920&p=245276&hili ... +b#p245276)

[FelipeMartinMOD]

[tex3]ΔPOT \cong ΔBOC (L.A.L)[/tex3]

essa congruência ocorre, pois:[tex3]\angle CBP = 90^{\circ} \implies \angle CPB = 90^{\circ} - \theta \implies \angle APO = 90^{\circ} + \theta[/tex3]

fazendo a soma dos ângulos no quadrilátero [tex3]APOT[/tex3] ser [tex3]360^{\circ}[/tex3]:

[tex3]\angle POT = 180^{\circ} - 2\theta = \angle COB[/tex3]

donde sai a congruência mencionada