Cap. 14 - Relaciones Métricas en Triângulos Obtusângulos ⇒ Solucionário:Racso - Cap XIV - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:16 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Problema Proposto
16 - O triângulo ABC onde AB = 7, BC = 8 e AC = 9 está inscrito
em uma circunferência. Calcular a medida da flecha da corda AC.

Resposta

---

C) [tex3]\frac{3\sqrt5}{2}[/tex3](Resposta errada do livro: E) [tex3]\frac{4\sqrt{5}}{3}[/tex3]

[FelipeMartinMOD]

o jvmago demonstrou aqui que as flechas obedecem à seguinte relação: [tex3]2f_a = r_a - r[/tex3], na qual:

[tex3]f_a[/tex3] é a flecha do lado [tex3]BC[/tex3]
[tex3]r_a[/tex3] é o raio da ex-inscrita relativa ao vértice [tex3]A[/tex3] do [tex3]\triangle ABC[/tex3]
[tex3]r[/tex3] é o raio da inscrita do [tex3]\triangle ABC[/tex3].

Só fazer as contas

[petrasMOD]

[tex3]∠ABC=\frac{1}{2}∠AOC=∠AOE\\
sinB=sin∠AOE=\frac{AC}{2R}=\frac{b}{2R}\\
Analogamemte:
2R=\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}\implies sin C = \frac{c}{2R}\\
Area △ABC =\frac{1}{2}absinC=\frac{abc}{4R} \\
F. Heron: S\triangle ABC = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c) }=\sqrt{12(3)(4)(5)}=12\sqrt5\\
Substituindo:\frac{7.8.9}{4R}=12\sqrt5\implies R = \frac{7.8.9}{4.12\sqrt5}=\frac{63}{6\sqrt5}=\frac{21\sqrt5}{10}
\\ \triangle AOE:OE^2 + AE^2 = OA^2 \implies OE^2 = (\frac{21\sqrt5}{10})^2 - (\frac{9}{2})^2\implies \\
OE =\frac{3\sqrt5}{5} \\ EF = \underbrace{OF}_{=R} - OE =\frac{21\sqrt5}{10} - \frac{3\sqrt5}{5} =\therefore \boxed{\color{red}EF = \frac{3\sqrt5}{2}}
[/tex3]
(Solução:Andrei)

[petrasMOD]

[tex3]\mathsf{BD = x\\
Traçar~ AD\perp BC(D \in BC)\\
T.Pit: \triangle ABD ~e ~\triangle ADC:\\
AD^2 = 7^2 - x^2~e ~AD^2 = 9^2−(8−x)^2
\therefore 7^2 - x^2~ = 9^2−(8−x)^2 ⟹x=2\\

\therefore AD=\sqrt35\\.
△ABD∼△AOE: \frac{AO}{7}=\frac{OE}{2}=\frac{\frac{9}{2}}{3\sqrt5}⟹AO=\frac{21}{2\sqrt5},OE=\frac{6}{2\sqrt5}\\

\therefore EF=\underbrace{OF}_{AO}−OE=\frac{21}{2\sqrt5} - \frac{6}{2\sqrt5} = \frac{15}{2\sqrt5}\implies \boxed{\color{red}EF=\frac{3\sqrt5}{2}}}[/tex3]
(Solução: ACB)