Cap. 14 - Relaciones Métricas en Triângulos Obtusângulos ⇒ Solucionário:Racso - Cap XIV - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:28 Tópico resolvido

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Problema Proposto
28 - Calcular r na figura (O é centro) R = 4

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Resposta

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D) [tex3]\sqrt{\frac{8}{3}} [/tex3]

[petrasMOD]

[tex3]\mathsf{CE \perp OD ~e~CH \perp AB.\\
OH=CE=\sqrt{OC^2−OE^2}\\
OC=R−r,\\
OE=\frac{R}{2} (OC=CD=R−r).\\
OH = \sqrt{R^2-2Rr+r^2-\frac{R^2}{4}}\implies OH = \sqrt{16-8r+r^2-4}=\boxed{\sqrt{r^2-8r+12}=OH}\\
\therefore \boxed{OH^2 = r^2-8r+12}(I)\\
AC^2=(AO+OH)^2+CH^2\\
⟹2AO⋅OH=AC^2−CH^2−AO^2−OH^2.\\
CH=OE=\frac{R}{2},\\
AC=R+r,\\
AO=R\implies \\2.4.OH=16+8r+r^2-4-16-r^2+8r-12\implies\\
8OH=16r-16 \therefore OH =2r-2\implies OH^2 =4r^2-8r+4 \\
De(I): 4r^2-8r+4 = r^2-8r+12 \implies \boxed{\color{red}r = \sqrt{\frac{8}{3}}}}[/tex3]
(Solução:MathLover)