Cap. 14 - Relaciones Métricas en Triângulos Obtusângulos ⇒ Solucionário:Racso - Cap XIV - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:18 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Problema Proposto
18 - Em um triângulo ABC é traçada as alturas AF, BH e CE, sendo "O" o ortocentro.
Calcular o raio da circunferência circunscrita ao
triángulo ABC . Se: AB² + BC² - AC² = 10 e AO² + CO² - OB² = 15

Resposta

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b) 2,5

[petrasMOD]

Problema com "vício". Se O é circuncentro, AO = BO = OC
portanto [tex3]AO^2+CO^2-BO^2=15 \implies 2R^2-R^2 = 15\\
\therefore R = \sqrt15 \approx 3.9[/tex3]
Provavelmente o autor não queria essa relação.

[geobson]

petras, mas , Petras " O" não é o ortocentro do triângulo?

[petrasMOD]

geobson,
Pior é que é...na epóca nem percebemos...volta pra pauta de resoluções

O problema está correto.Segue o desenho em escala corrigido

[geobson]

petras, considere " H" como ortocentro e " O" circuncentro , já temos uma solução:

[petrasMOD]

geobson,

Excelente..vou transcrever sua solução

[tex3]\mathsf{

\triangle AHJ: R^2= (\frac{p}{2})^2+(\frac{b}{2})^2\implies 4R^2 = p^2+b^2(I)\\
\triangle CHG: R^2=(\frac{n}{2})^2+(\frac{a}{2})^2 \implies 4R^2=n^2+a^2(II)\\
\triangle AIH: R^2= (\frac{c}{2})^2+(\frac{m}{2})^2 \implies 4R^2=m^2+c^2 (III)\\
a^2+c^2-bc^2=10(VI)\\
n^2+m^2-p^2=15(V)\\
(IV)+(V): \underbrace{a^2+n^2}_{4R^2}+\underbrace{c^2+m^2}_{4R^2}-(\underbrace{b^2+p^2}_{4R^2}) = 25 \implies\\
R=\sqrt{\frac{25}{4}}=\boxed{\frac{5}{2}}


}[/tex3]

[geobson]

petras, perfeito! Linda , de fato, essa geometria!