Física I ⇒ estática Tópico resolvido

[gabrielmacc]

A barra [tex3]ABC[/tex3] é homogênea, uniforme e está dobrada em [tex3]B[/tex3] de tal modo que quando apoiada em [tex3]A[/tex3] permanece em equilíbrio estático. Se [tex3]BC = 3AB[/tex3], determine o valor aproximado de [tex3]\cos\theta[/tex3].

Resposta

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[tex3]\cos\theta \approx 0,93[/tex3]

[Kin07]

Dados fornecidos pelo enunciado:

• O segmento AB faz um ângulo θ com a horizontal.

• O segmento BC faz um ângulo 2θ com a horizontal (há dois ângulos θ indicados)

• [tex3]\displaystyle \sf BC = 3AB[/tex3]

Resolução:

• [tex3] \displaystyle \sf \sf AB = L \implies BC = 3L [/tex3]

Centro de massa de cada trecho:

• CM de AB está no meio: [tex3]\displaystyle \sf \left(\dfrac{L}{2}\cos\theta,\; -\,\dfrac{L}{2}\sin\theta\right)[/tex3]

• CM de BC: [tex3]\displaystyle \sf \left(\dfrac{3L}{2}\cos 2\theta,\; -\,\frac{3L}{2}\sin 2\theta\right) [/tex3]

Pesos proporcionais aos comprimentos:

• [tex3]\displaystyle \sf m_{AB} \propto L [/tex3]

• [tex3] \displaystyle \sf m_{BC} \propto 3L [/tex3]

Centro de massa para coordenada ''x'':

[tex3]\displaystyle \sf x_{CM} = \dfrac{L\cdot \dfrac{L}{2}\cos\theta + 3L\cdot \dfrac{3L}{2}\cos 2\theta}{4L} [/tex3]

[tex3] \displaystyle \sf x_{CM} = \dfrac{L}{8}(\cos\theta + 9\cos 2\theta)[/tex3]

Condição de equilíbrio para o ponto ''A' tem coordenada:

[tex3] \displaystyle \sf x_A = L\cos\theta [/tex3]

[tex3] \displaystyle \sf x_{CM} = x_A [/tex3]

[tex3] \displaystyle \sf \cos\theta + 9\cos 2\theta = 8\cos\theta[/tex3]

[tex3]\displaystyle \sf 9\cos 2\theta = 7\cos\theta[/tex3]

[tex3] \displaystyle \sf\dfrac{1}{8}(\cos\theta + 9\cos 2\theta) = \cos\theta [/tex3]

Usando:
[tex3]\displaystyle \sf \cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1 [/tex3]

[tex3]\displaystyle \sf 9\cdot(2\cos^2\theta - 1) = 7\cos\theta [/tex3]

[tex3]\displaystyle \sf 18\cos^2\theta - 7\cos\theta - 9 = 0 [/tex3]

[tex3]\displaystyle \sf \cos\theta = \frac{7 \pm \sqrt{697}}{36} [/tex3]

[tex3] \displaystyle \sf \textcolor{#CC0000}{ \cos\theta \approx 0.93} [/tex3]