Cap. 15 - Relaciones Métricas en la Circunferência I ⇒ Solucionário:Racso - Cap XV - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:20 Tópico resolvido

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Problema Proposto
20 - O diâmetro de uma circunferência mede 8m.
Neste diâmetro se marcam os pontos A e B equidistantes
1m do centro; por B se traça uma corda qualquer PC.
Calcular a soma dos quadrados das medianas do triângulo APC.

Resposta

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D) 73,5

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TEOREMA DE BOOTH

Num triângulo ABC, de lados a, b e c, os pontos D, E e F são pontos médios de cada lado. O ponto G é o baricentro do triângulo. Então, a soma dos quadrados das medianas é igual a três quartos da soma dos quadrados dos lados do triângulo.

[tex3]\mathsf{ OP = mediana △APB.\\
R = 4\\
T.Mediana: AP^2+BP^2=2.OP^2+\frac{AO^2}{2}=2.8^2+\frac{2^2}{2}\\
⟹AP^2+PB^2=34\\
Analogamente: AC^2+BC^2=34\\
T.Cordas: PB⋅BC=5⋅3=15\\
AP^2+AC^2+CP^2=AP^2+AC^2+(BP+BC)^2=AP^2+AC^2+BP^2+BC^2+2BP⋅BC=98\\
\therefore AP^2+AC^2+CP^2=98\\

4(PE^2+CD^2+AB^2) = 3(AC^2+AP^2+CP^2)\therefore\\
PE^2+CD^2+AB^2=\frac{3}{4}(AC^2+AP^2+CP^2) =\frac{3}{4}(98)=3.(24,5)\\

\therefore \boxed{\color{red}PE^2+CD^2+AB^2 =73,5 }\\
}[/tex3]
(Solução: MathLover)

[petrasMOD]

Soluçao Caso Geral: onde PC não é perpendicular a AB:

[tex3]\mathsf{AP^2+AC^2+PC^2(I)

AI \perp PC (I \in PC) \\
Potência~Ponto:
PI⋅PB = PI⋅(PI+IB)= PI^2+PI⋅IB=3⋅5=15\\
PI=BC.
PI⋅IC=PI⋅(PI+IB)\\.
T.Pit: AP^2=AI^2+PI^2\\
AC^2=AI^2+PC^2\\
AB^2=AI^2+IB^2.

Substituindo~em~(I):\\
=AP^2+AC^2+PI^2+IC^2+2⋅PI⋅IC=\\
2AI^2+2PI^2+2IC^2+30=\\
2(AB^2−IB^2+PI^2+IC^2+15)=\\
2(2^2+PI^2+(IC^2−IB^2)+15)=\\
2(4+PI^2+(IC−IB)(IC+IB)+15)=\\
2(4+PI^2+PI(PI+2IB)+15)=\\
2(4+2(PI^2+PI⋅IB)+15)=2(4+2⋅15+15)=98\\

Usando ~a ~identidade: 4(PE^2+CD^2+AB^2)=3(AC^2+AP^2+CP^2)=98⋅\frac{3}{4}=\boxed{\color{red}73.5}}[/tex3]
(Solução:Farewell)