Cap. 17 - Polígonos Regulares: Potencia e Eje Radical ⇒ Solucionário:Racso - Cap XVII - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:15 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Problema Proposto
15 - Se de um ponto H da circunferência
circunscrita a um pentágono regular ABCDE
se traçam segmentos aos cinco vértices A, B,
C, D e E; se : HE [tex3]\in[/tex3] [tex3]\overset{\LARGE{\frown}}{AE}[/tex3];
HA + HE + HC = 19 m e HB = 9 m . Calcular HD.

Resposta

---

B) 10m

[petrasMOD]

[tex3]\mathsf{l_5 = x\\
d = AC = CE=AD=φ.x\\

T.Ptolomeu:\\

ABCH→HA⋅x+HC⋅x=HB⋅φx\implies HA+HC=HB⋅φ(1)\\

EDCH→HE+HC=HD⋅φ(2)\\

HBCD→HB+HD=HC⋅φ(3)\\

AHED→HA+HE⋅φ=HD\implies HD−HA=HE⋅φ(4)\\

BAHE→HB−HE=HA⋅φ(5)\\

Somando: HA+HE+HC=19 ~e ~HB=9.\\

\therefore \boxed{2(HB+HC+HD)=(28+HD)φ}(6)\\

De(3), HC=(HB+HD)φ=(9+HD)(φ−1)\\
Substituindo~ em(6): 2(9+(9+HD)(φ-1)+HD) = (28+HD)φ\\
\cancel{18} +18φ-\cancel{18}+2HDφ-\cancel{2HD}+\cancel{2HD} = 28φ+HDφ\\
HDφ=10 φ\implies\boxed{\color{red}{HD = 10}}}
[/tex3]
(Solução:a-b-c)