Cap. 17 - Polígonos Regulares: Potencia e Eje Radical ⇒ Solucionário:Racso - Cap XVII - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:38 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Problema Proposto
38 - No trângulo acutângulo ABC de
ortocentro "H" e circuncentro "O", se traça a
altura AP. Se a distância de "O" a AC é 2 e
PH = 1; calcular a potência de "P" em relação
a circunferência de centro "O".

Resposta

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E) -5

[petrasMOD]

*Enunciado complementado. O triângulo deve ser isósceles
[tex3]BH=2OD=4 \implies BP=\sqrt{15}\\

△ACP∼△BHP ⟹AC=\frac{4}{\sqrt{15}}(AH+1), PC=\frac{1}{\sqrt{15}}(AH+1)\\

Marcando~M~ponto~médio ~de~ BC, CM=\frac{\sqrt{15}+PC}{2}\\

PM=CM−PC=\frac{\sqrt{15}−PC}{2}=\frac{14−AH}{2\sqrt15}\\

Pot(P/O)=OP^2−OA^2,\\
=OM^2+PM^2−(AD^2+4)\\
=\frac{AH^2}{4}+\frac{(14−AH)^2}{60}−\frac{AC^2}{4}−4=\\
\frac{AH^2}{4}+\frac{(14−AH)^2}{60}−\frac{4(AH+1)^2}{15}−4=−AH−1\\
mas~ AH = BH = 4 \therefore \boxed{\color{red}Pot(P/O) = -4-1= -5} [/tex3]
(Solução:MathLover)