Cap. 18 - Areas de Regiones Triangulares ⇒ Solucionário:Racso - Cap XVIII - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:08 Tópico resolvido

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Problema Proposto
8 - Os lados de un triângulo ABC medem
AB = 21 m, AC= 28m e BC= 35m se traçam as
bissetrizes AQ e CR, as quais se interceptam
en "I". Calcular a área do triângulo CIQ.

Resposta

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E) 70m²

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Solução:

FIGURA - TRIÂNGULO 2.png (18.43 KiB) Exibido 1087 vezes

O [tex3]\Delta ABC[/tex3] é o triângulo retângulo notável [tex3]3k,4k,5k[/tex3] com [tex3]k=7[/tex3], daí sua área é: [tex3]A=\frac{21\cdot28}{2} \ \ \therefore \ \ [ABC]=294 \ m^2[/tex3]

Teorema da Bissetriz Interna (bissetriz [tex3]AQ[/tex3]): [tex3]\frac{21}{28}=\frac{BQ}{CQ}\ \therefore\ \boxed{\frac{BQ+CQ}{CQ}=\frac{7}{4}}[/tex3]

Teorema do Incentro: [tex3]\frac{AI}{IQ}=\frac{21+28}{35}\implies\boxed{\frac{AI+IQ}{IQ}=\frac{12}{5}}[/tex3]

Propriedade entre área de triângulos ("se dois triângulos possuem mesma altura, então a razão entre as suas áreas é igual a razão entre as bases"):
[tex3]\frac{[ABQ]}{[ACQ]}=\frac{BQ}{CQ}\\
\\ \frac{[ABQ]+[ACQ]}{[ACQ]}=\frac{BQ+CQ}{CQ}\\
\\ \frac{294}{[ACQ]}=\frac{7}{4} \ \ \therefore \ \ \boxed{[ACQ]=168 \ m^2}[/tex3]

Novamente, usando a propriedade entre área de triângulos:
[tex3]\frac{[CAI]}{[CIQ]}=\frac{AI}{IQ}\\
\\ \frac{[CAI]+[CIQ]}{[CIQ]}=\frac{AI+IQ}{IQ}\\
\\ \frac{168}{[CIQ]}=\frac{12}{5} \ \ \therefore \ \ \boxed{\boxed{[CIQ]=70 \ m^2}}[/tex3]





att>>rodBR