Cap. 18 - Areas de Regiones Triangulares ⇒ Solucionário:Racso - Cap XVIII - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:41 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Problema Proposto
41 - Calcular a área da região TBK, se AP = 9 e CQ = 12

Resposta

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A) 201,6

[petrasMOD]

[tex3]\mathsf{O:centro~ do~ círculo\\
BPQO(retângulo) 3 ~ângulos ~retos\\
BPQO(quadrado) BO ~é~ bissetriz ~do~ \angle B\\
BP = BQ = x \implies BO = x\sqrt2\\
Fórmula, Comprimento ~Bissetriz ~Int.: x \sqrt2 = \frac{ac \sqrt2}{a+c} \iff x = \frac{ac}{a+c} \iff x = \frac{(9+x)(12+x)}{21 + 2x} \iff x= 6\sqrt3\\
\triangle ABC:c =9+6\sqrt3\\a = 12 + 6\sqrt3\\
b=\sqrt7(6+3\sqrt3)\\
h = \frac{ac}{b} \\
base=2x\\
\therefore \boxed{\color{red}S_{BTK} =152,34}}[/tex3]
(Solução:sousóeu - viewtopic.php?f=4&t=75165&p=204695&hili ... 12#p204695)

[FelipeMartinMOD]

petras, não é o teorema da bissetriz interna, mas o comprimento da bissetriz de um triângulo qualquer.

bissetriz.png (13.79 KiB) Exibido 496 vezes

Seja [tex3]D[/tex3] o pé da bissetriz interna por [tex3]C[/tex3] no [tex3]\triangle ABC[/tex3].

Sejam [tex3]\alpha = \angle ACD = \angle BCD = \frac{\angle ACB}2; a=BC,b= AC[/tex3] e [tex3]d = CD[/tex3].

Sabemos que a área do [tex3]\triangle ABC[/tex3] é a soma das áreas do [tex3]\triangle ACD[/tex3] com do [tex3]\triangle BCD[/tex3].

Usemos a fórmula de área de triângulos [tex3]A = \frac{ab \sen (\angle C)}2[/tex3] para expressar o fato acima:

[tex3]ab \sen (2\alpha) = bd \sen (\alpha) + ad \sen (\alpha) \iff d(b+a) = 2ab \cos (\alpha) \iff \boxed{d = \frac{2ab \cos(\alpha)}{a+b}}[/tex3]