Cap. 18 - Areas de Regiones Triangulares ⇒ Solucionário:Racso - Cap XVIII - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:51 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Problema Proposto
51 - Na figura: AH = HC, PB = PH; calcular
a relação entre as áreas das regiões MPN e ABC.

Resposta

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E) [tex3]\frac{1}{9}[/tex3]

[petrasMOD]

[tex3]\mathsf{
Q = centro- da - circunferêrencia.\\

\triangle ABH ~e~\triangle QBM (A.A.A.) \frac{AH}{AB}=\frac{QM}{QB}=\frac{r}{3r}=\frac{1}{3}.\\

Potência de A: AM=AH\frac{AB}{3}. \implies MN=\frac{2}{3}AB\\.

\triangle QMO \sim \triangle ABH(A.A.A.) \therefore QO=\frac{1}{3}QM=\frac{1}{3}r~ e~PO=r−QO=\frac{2}{3}r=\frac{1}{6}BH.\\
\frac{S_{MNP}}{S_{ABC}}=\frac{MN.OP}{AC.BH}=\frac{\frac{2}{3}AB.\frac{1}{6}BH}{AC.BH }\\
\therefore: \boxed{\color{red} \frac{S_{MNP}}{S_{ABC}} = \frac{1}{9}}

}[/tex3]
(Solução:martiniano)