Cap. 18 - Areas de Regiones Triangulares ⇒ Solucionário:Racso - Cap XVIII - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:39 Tópico resolvido

[petrasMOD]

Problema Proposto
39 - Na figura T e K são pontos de tangência,
MT = a e KN = b ; calcular área da região ABC.

Resposta

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Não há alternativa correta (Solução errada do livro D) [tex3]\sqrt2{ab(\sqrt a+\sqrt b)^2})[/tex3]

[petrasMOD]

[tex3]\mathsf{TK = \sqrt2R\\
T.Cordas:AT⋅TB=MT⋅TN\\
BK⋅KC=KN⋅MK\\
\therefore: AT=\sqrt2a+\frac{ab}{R}\\
KC=\sqrt2b+\frac{ab}{R}\\
S_{ABC}AB^2+BC^2=AC^2\\
BC=BC+KC=KC+R\\
AB=AT+TB=AT+R\\
AC=AG+GC=AT+KC\\
Resolvendo: R=\sqrt{ab}\\
\therefore S_{ABC}=\frac{AB⋅BC}{2}=\frac{1}{2}(\sqrt2a+2\sqrt{ab})(\sqrt2b+2\sqrt{ab})\\
\therefore \boxed{\color{red}{S_{ABC} = 2\sqrt{ab}(a+b)+3ab}}}[/tex3]
(Solução:flyair)

[FelipeMartinMOD]

outra maneira, é usar o resultado deste link.

Ele implica que [tex3]AN[/tex3] e [tex3]CM[/tex3] passam pelo incentro do [tex3]\triangle ABC[/tex3], donde sai a semelhança [tex3]\triangle BTM \sim \triangle NKB[/tex3], então:

[tex3]\frac{r}a = \frac br \implies r = \sqrt{ab}[/tex3]

A potência do ponto [tex3]T[/tex3] é: [tex3]a(r\sqrt2 + b)=r(p-a)[/tex3]

A potência do ponto [tex3]K[/tex3]: [tex3]b(r\sqrt2+a) = r(p-b)[/tex3]

multiplica tudo:

[tex3]ab(r\sqrt2+b)(r\sqrt2+a) = ab(p-a)(p-b) = ab S \implies S = (a+r\sqrt2)(b+r\sqrt2)[/tex3]

por fim:

[tex3]S = \sqrt{ab}(\sqrt a + \sqrt{2b})(\sqrt b + \sqrt{2a}) = 3ab + \sqrt{2ab}(a+b)[/tex3] um pouco diferente do seu gabarito

[petrasMOD]

FelipeMartin,

O gabarito do livro está errado..já solicitei o moderador para mudar o spoiler