Cap. 18 - Areas de Regiones Triangulares ⇒ Solucionário:Racso - Cap XVIII - Problemas de Geometria y Como Resolverlos - I Edição - Ex:58 Tópico resolvido

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Problema Proposto
58 - Consideremos um triângulo equilátero de
área "S". De um ponto dentro de seu triângulo
mediano, são traçadas perpendicularmente aos
lados do triângulo equilátero. estas perpendiculares
formar uma progressão aritmética de razão r, então:

Resposta

---

r < [tex3]\frac{\sqrt[4]{3S^2}}{6}[/tex3]

[petrasMOD]

Altura do equilátero △ ABC = H. Pode ser mostrado facilmente [tex3]H^2 = \sqrt3S.[/tex3]

As três perpendiculares podem ser considerados como h2 − r, h2, h2 + r.
Por propriedade a soma das 3 perependiculares será H e assim [tex3]h2 = \frac{H }{ 3}[/tex3].
Uma das perpendiculares deve ter 1/3 da altura total, o que significa que o ponto P está na mesma altura do baricentro G.

WLOG, podemos tomar P para se situar na linha (azul) através de G paralelo a AB. Condicionado para que não seja exterior ao triângulo medial DEF, sua posição extrema é (mostrado) no lado DF. Claramente para esta posição de P, PZ / PX = PD / PF = 1 / 2⇒PZ = H / 6.

Assim, para todas as posições permitidas de P (na parte não pontilhada da linha azul),

[tex3]PZ=\frac{H}{3}−r > \frac{H}{6}⇒r < \frac{H}{6}\\
H^2=\sqrt3S \implies
\boxed{\color{red}r < \frac{\sqrt[4]{3S^2}}{6}}[/tex3]
(Solução:MyMolecules)