Olimpíadas ⇒ Diferença e Soma de Cubos Tópico resolvido

[Cláudio02]

(Leningrado) Prove que [tex3]\frac{(2^{3}-1)(3^{3}-1)...(100^{3}-1)}{(2^{3}+1)(3^{3}+1)...(100^{3}+1)}=\frac{3367}{5050}[/tex3].

[Juniorhw]

Olá,

Conhecendo a fatoração [tex3]x^3\pm 1=(x\pm 1)(x^2\mp x+1)[/tex3], temos:

[tex3]\frac{(2^{3}-1)(3^{3}-1)...(100^{3}-1)}{(2^{3}+1)(3^{3}+1)\cdot...\cdot(100^{3}+1)}\\\\\frac{(2-1)(2^2+2+1)(3-1)(3^2+3+1)(4-1)(4^2+4+1)\cdot...\cdot(100-1)(100^2+100+1)}{(2+1)(2^2-2+1)(3+1)(3^2-3+1)(4+1)(4^2-4+1)\cdot...\cdot(100+1)(100^2-100+1)}[/tex3]

Observe a seguinte razão:

[tex3]\frac{a^2+a+1}{(a+1)^2-(a+1)+1}=\frac{a^2+a+1}{a^2+2a+1-a-1+1}=\frac{a^2+a+1}{a^2+a+1}=1[/tex3]

Podemos cortar então os fatores sucessivos:

[tex3]\frac{(2-1)\cancel{(2^2+2+1)}(3-1)\cancel{(3^2+3+1)}\cdot...\cdot(99-1)\cancel{(99^2+99+1)}(100-1)(100^2+100+1)}{(2+1)(2^2-2+1)(3+1)\cancel{(3^2-3+1)}(4+1)\cancel{(4^2-4+1)}\cdot...\cdot(100+1)\cancel{(100^2-100+1)}}[/tex3]

Reorganizando:

[tex3]\frac{(2-1)(3-1)(4-1)(5-1)(6-1)(7-1)\cdot...\cdot(100-1)(100^2+100+1)}{(2+1)(2^2-2+1)(3+1)(4+1)(5+1)\cdot...\cdot (100+1)}=[/tex3]

Agora observe a razão:

[tex3]\frac{a-1}{(a-2)+1}=1[/tex3]

Podemos cortar então:

[tex3]\frac{(2-1)(3-1)\cancel{(4-1)}\cancel{(5-1)}\cancel{(6-1)}\cancel{(7-1)}\cdot...\cdot\cancel{(100-1)}(100^2+100+1)}{\cancel{(2+1)}(2^2-2+1)\cancel{(3+1)}\cancel{(4+1)}\cancel{(5+1)}\cdot...\cdot \cancel{(98+1)}(99+1)(100+1)}=\\\\\frac{(3-1)(100^2+100+1)}{(2^2-2+1)(99+1)(100+1)}=\frac{20202}{30300}=\boxed{\frac{3367}{5050}}[/tex3]

Abraço.