IME / ITA ⇒ Análise Combinatória: Combinações Simples e Dominó Tópico resolvido

[triplebig]

Quantas peças diferentes podem ser formadas em um jogo de dominó se usarmos os números [tex3]0,\,1\,,2\,,3\,,4\,,...,n[/tex3]?

[Bruno Fraga]

Como sabemos, peças de dominó contém sempre dois números:
(5|4) (6|6) (0|n) ...
Para contá-las podemos proceder assim:
1° caso: peças com números diferentes.
Basta contar de quantas maneiras podemos escolher os dois números para pôr na peça:
C(n+1, 2) = [tex3]\frac{(n+1)n}{2}[/tex3]
2° caso: peças com número iguais.
Agora são [tex3](n+1)[/tex3] peças: (0|0), (1|1), ..., (n|n)
Total de peças: [tex3]\frac{(n+1)n}{2} + n+1 = \frac{(n+1)(n+2)}{2}[/tex3]

[triplebig]

É isso mesmo, valeu de novo

[edu_landim]

Esse problema também pode ser resolvido considerando que cada peça do dominó é uma combinação completa classe [tex3]2[/tex3] dos [tex3]n[/tex3] elementos disponíveis.

OBS: Chamamos combinação completa classe [tex3]p[/tex3] de [tex3]m[/tex3] elementos distintos qualquer escolha de [tex3]p[/tex3] elementos tomados podendo haver repetição.

[tex3]CR^p _m\,=\,C^p _{m+p-1}[/tex3]

No caso específico temos [tex3]p\,=\,2[/tex3] e [tex3]m\,=\,n\,+\,1[/tex3], logo haverá

[tex3]C^2 _{n+2}\,=\,\frac{(n\,+\,2)!}{2!\,\cdot\,n!}\,=\,\frac{(n\,+\,2)\,\cdot\,(n\,+\,1)}{2}[/tex3]