Ensino Médio ⇒ Eixo de simetria(Funções Quadráticas)

[Toplel94]

Determine a função g(x) cujo o gráfico é o simétrico da função [tex3]f(x)=2x-x^2[/tex3] em relação à reta y=3. Esboce o gráfico.

[Juniorhw]

A outra função é do tipo [tex3]g(x)=ax^2+bx+c[/tex3]. Se ela é simétrica à função [tex3]f(x)[/tex3] em relação à [tex3]y=3[/tex3], dado uma coordenada [tex3]x[/tex3], as coordenadas [tex3]y[/tex3] das duas funções possuem a mesma distância até [tex3]y=3[/tex3]. Ou seja, uma função possui coordenada [tex3](x,3+d)[/tex3] e a outra [tex3](x,3-d)[/tex3]. Temos então:

[tex3]g(x)=ax^2+bx+c\\\\3+d=ax^2+bx+c[/tex3]

e

[tex3]f(x)=2x-x^2\\\\3-d=2x-x^2[/tex3]

Obs: não importa qual é [tex3]3+d[/tex3] ou [tex3]3-d[/tex3], pois vamos somá-las.

Somando as duas:

[tex3]6=ax^2+bx+c+2x-x^2\\\\x^2(a-1)+x(b+2)+c-6=0[/tex3]

Por igualdade de polinômios:

[tex3]a=1\\\\b=-2\\\\c=6[/tex3]

Portanto:

[tex3]\boxed{g(x)=x^2-2x+6}[/tex3]

Veja os gráficos:

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Abraço.