Ensino Médio ⇒ Soma dos divisores positivos de um número natural Tópico resolvido

[Victor1e]

A soma dos divisores positivos de 120 é 360. A soma dos inversos dos divisores positivos de 120 é igual a:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6

Resposta

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Eu fiz e deu 3, ou seja, a letra B. Mas no gabarito diz que é letra c. Eu queria saber onde foi que eu errei ou se o gabarito está errado. Valeu galera!

[ttbr96]

os divisores positivos de 120 são: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120}, cuja soma é 360

os inversos dos divisores positivos de 120 são: [tex3]\{1, \frac12, \frac13, \frac14, \frac15, \frac16, \frac18, \frac1{10}, \frac1{12}, \frac1{15}, \frac1{20}, \frac1{24}, \frac1{30}, \frac1{40}, \frac1{60}, \frac1{120}\}[/tex3]

se observamos bem, notaremos que há 4 sequências em PG, cuja razão é [tex3]\frac12[/tex3]

sequência 1: [tex3]\{1, \frac12, \frac14, \frac18\}[/tex3]

sequência 2: [tex3]\{\frac13, \frac16, \frac1{12}, \frac1{24}\}[/tex3]

sequência 3: [tex3]\{\frac15, \frac1{10}, \frac1{20}, \frac1{40}\}[/tex3]

sequência 4: [tex3]\{\frac1{15}, \frac1{30}, \frac1{60}, \frac1{120}\}[/tex3]

com isso, a soma da:
sequência 1: [tex3]S_4 = \frac{1[1 - (\frac12)^4]}{1 - \frac12} = \frac{15}8[/tex3]

sequência 2: [tex3]S_4 = \frac58[/tex3]

sequência 3: [tex3]S_4 = \frac38[/tex3]

sequência 4: [tex3]S_4 = \frac18[/tex3]

logo: a soma dos inversos dos divisores positivos de 120: [tex3]\frac{15}8 + \frac58 + \frac38 + \frac18 = \frac{24}8 = 3[/tex3]

[Auto Excluído (ID:12031)]

imagine que um inteiro [tex3]M[/tex3] tenha como divisores [tex3]x_1,x_2,...,x_n[/tex3] :

[tex3]d(M) = {x_1,x_2,x_3,...,x_n}[/tex3]

Seja [tex3]S[/tex3] a soma de seus divisores:

[tex3]S = x_1 + x_2 + x_3 + ... + x_n[/tex3]

perceba a seguinte sacada: Todo [tex3]x_i[/tex3] para um [tex3]i[/tex3] genérico natural entre [tex3]1[/tex3] e [tex3]n[/tex3] pode ser escrito de forma única como: [tex3]x_i = \frac {M}{x^*_i}[/tex3] para algum outro divisor [tex3]x_i^*[/tex3]. Basicamente: todo divisor pode ser escrito como [tex3]M[/tex3] dividido por um único outro divisor. Então:

[tex3]S = x_1 + x_2 + x_3 + ... + x_n = \frac{M}{x_1^*} + \frac{M}{x_2^*} + \frac{M}{x_3^*} + ... + \frac{M}{x_n^*} = M(\frac{1}{x_1^*} + \frac{1}{x_2^*} +...+ \frac{1}{x_n^*})[/tex3]

repare que temos a soma dos inversos dos divisores entre os parênteses!

[tex3]\frac{1}{x_1^*} + \frac{1}{x_2^*} + \frac{1}{x_3^*} +...+ \frac{1}{x_n^*} = \frac{S}{M}[/tex3]

como a soma [tex3]S[/tex3] vale 360 e o inteiro [tex3]M[/tex3] é 120:

[tex3]\frac{S}{M} = \frac{360}{120} = 3[/tex3]

essa é a soma dos inversos.