Pré-Vestibular ⇒ Probabilidade (bolas e urnas) Tópico resolvido

[paulo testoniMOD]

São dadas duas urnas, A e B:
* A urna A contém 5 bolas vermelhas e 3 bolas brancas;
* A urna B contém 1 bola vermelha e 3 bolas brancas.
Lança-se um dado não viciado. Se ocorrer a face 3 ou 6, uma bola da urna B é colocada na urna A, e então uma bola é retirada de A. Caso ocorra ao contrário, uma bola é retiarada de A e colocada em B e então uma bola é retirada de B.
Pergunta-se:
a) Qual a probabilidade de ambas serem vermelhas?
b) Qual a probabilidade de ambas serem brancas?

[Karl Weierstrass]

São dadas duas urnas, [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3]:

* A urna [tex3]A[/tex3] contém [tex3]5[/tex3] bolas vermelhas e [tex3]3[/tex3] bolas brancas;
* A urna [tex3]B[/tex3] contém [tex3]1[/tex3] bola vermelha e [tex3]3[/tex3] bolas brancas.

Lança-se um dado não viciado. Se ocorrer a face [tex3]3[/tex3] ou [tex3]6[/tex3], uma bola da urna [tex3]B[/tex3] é colocada na urna [tex3]A[/tex3], e então uma bola é retirada de [tex3]A[/tex3]. Caso contrário, uma bola é retirada de [tex3]A[/tex3] e colocada em [tex3]B[/tex3] e então uma bola é retirada de [tex3]B[/tex3].

Pergunta-se:

a) Qual a probabilidade de ambas serem vermelhas?
b) Qual a probabilidade de ambas serem brancas?

a) Seja o evento [tex3]M[/tex3]: "ocorrência de [tex3]3[/tex3] ou [tex3]6[/tex3] no lançamento de um dado honesto de seis faces".

Logo, [tex3]P(M)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.[/tex3]

Seja ainda o evento complementar de [tex3]M[/tex3], [tex3]\overline{M}[/tex3]: "ocorrência de [tex3]1,\,2,\,4,\,5[/tex3] no lançamento de um dado honesto de seis faces".

Temos que [tex3]P(\overline{M})=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}[/tex3].

Definindo os eventos [tex3]V[/tex3]: "bola vermelha" e [tex3]B[/tex3]: "bola branca", e considerando os diagramas abaixo,

[tex3]\hspace{70pt}[/tex3]

961_A2_1.jpg (14.61 KiB) Exibido 124 vezes

961_A1_1.jpg (14.51 KiB) Exibido 124 vezes

temos que a probabilidade pedida é dada por

[tex3]\hspace{70pt}P(MVV\, \cup\, \overline{M}VV)=\frac{1}{3}\,\cdot\,\frac{1}{4}\,\cdot\,\frac{6}{9}\,+\frac{2}{3}\,\cdot\,\frac{5}{8}\,\cdot\,\frac{2}{5}\,=\,\frac{2}{9}.[/tex3]

b) De acordo com o item (a) e observando os diagramas, temos que a probabilidade pedida é

[tex3]\hspace{70pt}P(MBB\, \cup \,\overline{M}BB)=\frac{1}{3}\,\cdot\,\frac{3}{4}\,\cdot\,\frac{4}{9}\,+\frac{2}{3}\,\cdot\,\frac{3}{8}\,\cdot\,\frac{4}{5}\,=\,\frac{14}{45}[/tex3].





[tex3]\,[/tex3]

[paulo testoniMOD]

Caro Karl Weierstrass.

O que eu poderia dizer diante dessa beleza de resolução? Realmente fiquei sem palavras.