Ensino Médio ⇒ Trabalhando com conjuntos, diferença entre E X C Tópico resolvido

[Rodtavora]

Prezados, estou com uma dúvida terrível relacionada aos conceitos de E (pertence) e C (contido) com relação a conjuntos. Estou com um exercício da minha apostila, se alguém souber explicar eu agradeço muito. (exercício em 2 partes)

1) Sendo A = (2;{0};0;{0;6}} coloque V ou F para as seguintes afirmações
2 [tex3]\in A[/tex3]
0 [tex3]\notin A[/tex3]
[tex3]\emptyset \in A[/tex3]
{0;6}[tex3]\in A[/tex3] (esse aqui me dá dor de cabeça com estar contido ou pertencer)
{2}[tex3]\in A[/tex3]
{2;0)[tex3]\in A[/tex3] (aqui a minha dúvida é se pode usar { e ) ao mesmo tempo, e pq seria falso se 2 e 0 estão em A
6 [tex3]\in A[/tex3] (o gabarito fala que é falso, mas o 6 não está em A?)
{0}[tex3]\in A[/tex3]
{0;{0}}[tex3]\in A[/tex3]
{6}[tex3]\notin A[/tex3]

As respostas seriam V,F,V,V,F,F,F,V,V,V

2)Sendo A = {2;{2};0;{0;5}} coloque V e F
5 [tex3]\in A[/tex3] (Pertence ou está contido?)
{{2}}[tex3]\subset A[/tex3]
{{0}}[tex3]\subset A[/tex3] (gabarito diz que é verdade, mas o subconjunto não é 0;5?)
{0;5}[tex3]\in A[/tex3]
{2}[tex3]\in A[/tex3]
0 [tex3]\in A[/tex3]
{0;5}[tex3]\subset A[/tex3] (gabarito diz que é falso, mas o {0;5} não está contido em A?
{2}[tex3]\subset A[/tex3]
{0}[tex3]\subset A[/tex3] (gabarito diz que é V, mas o subconjunto não é {0;5}?)
{0}[tex3]\notin A[/tex3]
Respostas F,V,V,V,V,V,F,F,V,V

Basicamente meu grande problema é entender a diferença entre está contido C e pertence E nos conjuntos. Também queria saber qual a diferença entre escrever {0;5} e (0;5) para conjuntos. Quem puder me ajudar, obrigado, estou começando, agradeço muito!

[csmarceloMOD]

Os parênteses têm o mesmo significado das chaves e, portanto, utilizarei apenas chaves.

1)

Veja a representação gráfica do conjunto A.

Untitled.png (5.22 KiB) Exibido 26402 vezes

Repare que os elementos que estão inseridos, por assim dizer, diretamente em A são: o elemento 2, o elemento 0, o elemento/conjunto B e o elemento/conjunto C.

Apesar de B e C serem, fora de contexto, conjuntos, eles estão se comportando como elementos, pois estão inseridos em um conjunto maior.

Assim, temos que:

[tex3]2\in A
\\0\in A
\\ \{0,6\}\in A
\\ \{0\}\in A[/tex3]

Agora, quando falamos de (não) contém / (não) está contido, estamos comparando elementos de conjuntos. Um conjunto R estará contido em um conjunto S, se todos os elementos de R também forem elementos de S. Um conjunto R conterá um conjunto S, se todos os elementos de S também forem elementos de R.

Untitled2.png (2.86 KiB) Exibido 26402 vezes

Na imagem acima, os elementos 1 e 3 pertencem tanto ao conjunto R, quanto ao conjunto S. Sendo esses os únicos elementos de S, temos que todos os elementos que pertencem a S também pertencem a R e, portanto, S está contido em R (ou R contém S).

Agora, respondendo suas perguntas.

[tex3]\{0;6\}\in A[/tex3] (esse aqui me dá dor de cabeça com estar contido ou pertencer)

Como visto acima, o conjunto [tex3]C=\{0,6\}[/tex3] está inserido no conjunto A e, portanto, [tex3]\{0;6\}\in A[/tex3].

[tex3]\{2;0)\in A[/tex3] (aqui a minha dúvida é se pode usar { e ) ao mesmo tempo, e pq seria falso se 2 e 0 estão em [tex3]A[/tex3]

Individualmente, os elementos 0 e 2 pertencem a A, no entanto, o que se quer saber é se um conjunto que possua os elementos 0 e 2 pertence a A, o que é falso.

Já respondi sobre a questão dos parênteses.

[tex3]6\in A[/tex3] (o gabarito fala que é falso, mas o 6 não está em A?)

Não existe herança de pertinência. Repare que 6 pertence a C e não a A.

OBS:

Ou o gabarito está incorreto (ou você digitou errado) para [tex3]\emptyset \in A[/tex3] e [tex3]\{0;\{0\}\}\in A[/tex3].

Para que [tex3]\emptyset \in A[/tex3], deveria existir um conjunto [tex3]D=\emptyset\in A[/tex3], tal como B e C. Graficamente:

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Do mesmo modo, para que [tex3]\{0;\{0\}\}\in A[/tex3], deveria existir um conjunto [tex3]E=\{0;\{0\}\}\in A[/tex3]. Graficamente:

Untitled4.png (5.37 KiB) Exibido 26402 vezes

Essas opções seriam verdadeiras se, ao invés do sinal de [tex3]\in[/tex3], fosse o sinal [tex3]\subset[/tex3], pois:

a) o conjunto vazio está contido em qualquer conjunto.
b) a verificação da veracidade de [tex3]E=\{0;\{0\}\}\subset A[/tex3] fica evidente ao olhar o gráfico abaixo:

Untitled5.png (7.48 KiB) Exibido 26402 vezes

Repare que todos os elementos que pertencem a E também pertencem a A e, portanto, [tex3]E\subset A[/tex3].

2)

Agora serei mais direto, pois todas as explicações acima são suficientes para resolver a segunda questão.

[tex3]5\in A[/tex3] (Pertence ou está contido?)

Não pertence (ele pertence ao conjunto {0,5}) nem está contido (pois não é um conjunto).

[tex3]\{\{0\}\}\subset A[/tex3] (gabarito diz que é verdade, mas o subconjunto não é 0;5?)

Gabarito incorreto (ou digitação errada). Para ser verdadeiro, deveria existir o elemento [tex3]\{0\}[/tex3] em A.

[tex3]\{0;5\}\subset A[/tex3] (gabarito diz que é falso, mas o {0;5} não está contido em A?

Não. [tex3]\{0;5\}\in A[/tex3] pelo mesmo motivo que, no exercício anterior, [tex3]\{0,6\}\in A[/tex3].

[tex3]\{2\}\subset A[/tex3]

Gabarito incorreto (ou digitação errada). Efetivamente o conjunto [tex3]F=\{2\}\subset A[/tex3], pois A possui o elemento 2.

[tex3]\{0\}\subset A[/tex3] (gabarito diz que é V, mas o subconjunto não é {0;5}?)

Sendo G=[tex3]\{0\}[/tex3], este estará contido em A, pois A possui o elemento 0.