Olimpíadas ⇒ Equações Diofantinas

[Cláudio02]

(OBM 3ª fase/2006) Encontre todos os pares ordenados ([tex3]x[/tex3];[tex3]y[/tex3]) de inteiros tais que [tex3]x^{3} - y^{3}[/tex3]=3([tex3]x^{2} - y^{2}[/tex3]).

[PedroCunha]

Olá.

Uma solução óbvia é o par ordenado [tex3](x,x)[/tex3]. Agora:

[tex3](x^3-y^3) = 3(x^2-y^2) \therefore (x-y) \cdot (x^2+xy+y^2) = 3\cdot(x+y) \cdot (x-y), x-y \neq 0: \\\\ x^2+xy+y^2 = 3(x+y) \therefore x^2 -3x +y^2 - 3y + xy = 0 \therefore \\\\ x^2 + x \cdot (y - 3) + ( y^2-3y) = 0 \\\\
\triangle = (y-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (y^2-3y) \therefore \triangle = y^2 - 6y + 9 - 4y^2 + 12y \therefore \\\\ \triangle = -3y^2 + 6y + 9 = 0 \therefore \triangle = 3 \cdot (-y^2 + 2y + 3) = 0 \\\\ \text{O } \triangle \text{ deve ser positivo: } 3 \cdot (-y^2+2y+3) \geq 0 \rightarrow -1 \leq y \leq 3 \\\\ \text{Testando os valores lembrando que } x,y \in \mathbb{Z}: \\\\

y = -1: \triangle = 0 \rightarrow x = 0 \\
y = 0: \triangle = 9 \rightarrow x = 0 \text{ ou } x = 3 \\
y = 1: \triangle \text{ n\~{a}o \'{e} um quadrado perfeito } \\
y = 2: \triangle = 9 \rightarrow x = 2 \text{ ou } x = -1 \\
y = 3: \triangle = 0 \rightarrow x = 0[/tex3]

Logo, os pares ordenados são:

[tex3]\{0,-1\} ; \{0,0\} ; \{3,0\} ; \{2,2\} ; \{-1,2\} ; \{0,3\} \cup \{x,x\}, x \in \mathbb{R}[/tex3]

Att.,
Pedro