Ensino Médio ⇒ Sistemas Lineares e Moedas Tópico resolvido

[vicente487]

Um menino tem [tex3]8.896[/tex3] moedas, entre moedas de :

• [tex3]1[/tex3] centavo
  [tex3]5[/tex3] centavos
  [tex3]10[/tex3] centavos
  [tex3]25[/tex3] centavos
  [tex3]50[/tex3] centavos

O valor das moedas de [tex3]5[/tex3] centavos é igual ao valor das moedas de [tex3]25[/tex3] centavos; o número de moedas de [tex3]10[/tex3] centavos é igual ao número de moedas de [tex3]50[/tex3] centavos; o número de moedas de [tex3]1[/tex3] centavo é vinte vezes a soma dos valores das moedas de [tex3]5[/tex3] com as de [tex3]10[/tex3] centavos e o número de moedas de [tex3]1[/tex3] centavo mais o número de moedas de [tex3]25[/tex3] centavos e mais [tex3]4.176[/tex3] é igual ao total de moedas. Qual a quantia que o menino tem?

[Karl Weierstrass]

Sejam [tex3]a,\,b,\,c,\,d[/tex3] e [tex3]e,[/tex3] respectivamente, o número de moedas de [tex3]1,\,5,\,10,\,25\,[/tex3] e [tex3]50[/tex3] centavos.

Logo,

• [tex3]\left|\begin{array}{l}a+b+c+d+e=8896\\
  0,05b=0,25d\\
  c=e\\
  a=20(0,05b+0,1c)\\
  a+d+4176=8896\end{array}\right. \Longrightarrow
  
  \left|\begin{array}{l}
  a+b+c+d+e=8896\\
  b=5d\\
  c=e\\
  a=b+2c\\
  a+d=4720
  \end{array}\right. \Longrightarrow
  
  \left|\begin{array}{l}
  a=4176\\b=2720\\c=728\\d=544\\e=728
  \end{array}\right.[/tex3].

O menino tem [tex3]0,01\cdot 4176+0,05\cdot 2720+0,10\cdot 728 + 0,25\cdot 544 + 0,50 \cdot 728 = 750,56[/tex3] reais.