Ensino Médio ⇒ Teorema das Bissetrizes Tópico resolvido

[poti]

ABCD é um paralelogramo, no qual AB = 12cm e AD = 8cm. A bissetriz do ângulo  intercepta a diagonal BD em M e o lado CD em N. Calcule a razão MN/MA.

Resposta

---

2/3

Preferência por respostas que não usam Lei dos Cossenos!

[cajuADMIN]

Olá poti,

Não irei utilizar lei dos cosenos, mas utilizarei lei dos senos

Veja a situação abaixo:

paralelo.png (10.87 KiB) Exibido 4287 vezes

Aplicando lei dos senos no triângulo [tex3]\text{ABM}[/tex3]:

[tex3]\frac{12}{\sen(180^{\circ}- \theta)}=\frac{y}{\sen(\beta)}\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\boxed{\frac{\sen(\beta)}{\sen(\theta)}=\frac{y}{12}}\hspace{15pt}\text{(I)}[/tex3]

Aplicando lei dos senos no triângulo [tex3]\text{AMD}[/tex3]:

[tex3]\boxed{\frac{8}{\sen(\theta)}=\frac{a}{\sen(\alpha)}}\hspace{15pt}\text{(II)}[/tex3]

Aplicando lei dos senos no triângulo [tex3]\text{DMN}[/tex3]:

[tex3]\boxed{\frac{x}{\sen(\beta)}=\frac{a}{\sen(\alpha)}}\hspace{15pt}\text{(III)}[/tex3]

Igualando [tex3]\text{(II)}[/tex3] e [tex3]\text{(III)}[/tex3]

[tex3]\frac{8}{\sen(\theta)}=\frac{x}{\sen(\beta)}\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\boxed{\frac{\sen(\beta)}{\sen(\theta)}=\frac{x}{8}}\hspace{15pt}\text{(IV)}[/tex3]

Igualando [tex3]\text{(I)}[/tex3] e [tex3]\text{(IV)}[/tex3]:

[tex3]\frac{x}{8}=\frac{y}{12}\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\boxed{\boxed{\frac{x}{y}=\frac{2}{3}}}[/tex3]

P.S: Por que esta birra contra a lei dos cosenos?

Grande abraço,
Prof. Caju

[poti]

Opa. Eu havia conseguido por Lei dos Cossenos, mas o problema estava em uma seção anterior a isso e eu precisava ensinar da forma mais simples para uma pessoa. Na realidade, consegui depois por semelhança de triângulos, sem nem ter que usar outras ferramentas.

Pelo seu desenho, chamarei [tex3]DN = k[/tex3], de onde sai [tex3]NC = 12 - k[/tex3]. Perceba que o triângulo [tex3]ADN[/tex3] é isósceles por construção, portanto, [tex3]DN = DA \rightarrow \boxed{k = 8}[/tex3]

[tex3]ABM \equiv DNM \rightarrow \frac{DN}{AB} = \frac{MN}{MA} \rightarrow \frac{8}{12} = \frac{MN}{MA} \rightarrow \boxed{\frac{MN}{MA} = \frac{2}{3}}[/tex3]

Abraço!

[Igor1234]

Poti como você soube que o triângulo ADN è isósceles?e por que os triângulos BAM è semelhante aonDMC?eu só achei um ângulo igual

[cajuADMIN]

Olá Igor1234,

Veja que AN sendo bissetriz, temos os ângulos [tex3]DAN=NAB=\alpha[/tex3]. Como DC é paralela a AB (paralelogramo), temos que BAN=AND.

Sendo assim, os ângulos da base do triângulo DAN são iguais ([tex3]\alpha[/tex3]), ou seja, DAN é triângulo isósceles.

Grande abraço,
Prof. Caju