Ensino Superior ⇒ Região (Fechada, limitada, aberta ,conexa)

[ANNA2013MARY]

Como desenvolver uma questão como esta? por favor ajuda...

Considere a região R={(x,y)[tex3]\in R^{2}[/tex3]:|x|maior que1 e [tex3]x^{2}+y^{2}[/tex3] menor que4}. A região R classifica-se como:
a- Fechada e limitada
b- não conexa e limitada
c- aberta e conexa
d- conexa e fechada
e- limitada e conexa
f- aberta e limitada

[kluis37]

Se os dados estão corretos, então essa região é aberta e limitada. Recomendo altamente que desenhe essa região, olhe as definições que pelo menos intuitivamente a respostas será clara.

É aberta porque pode ser vista como a união de duas regiões:
1) A região que é a intersecção da bola aberta de centro em 0 e raio 2, com o semiplano aberto dos pontos cuja coordenada x é maior que 1.

2) A região que é a intersecção da bola aberta de centro 0 e raio 2, com o semiplano aberto dos pontos cuja coordenada x é menor do que -1.

Como intersecção finita de abertos é aberto, e união de abertos é aberto, segue que a região é aberta se e somente se você mostrar que essas regiões as quais descrevi ali em cima, são abertas.


É limitada porque por exemplo a bola de centro 0 e raio 3 contém essa região.



Agora porque ela não é....

Conexa: Se você desenhar a região, vai perceber que ela se divide em duas partes, que são abertas, disjuntas e não vazias. Isso é uma cisão não trivial da região, e fere a definição de conexidade.

Fechada: Porque essa região não contém todos os pontos de acumulação, na verdade, essa região não tem nem um ponto de sua fronteira dentro do conjunto.