Pré-Vestibular ⇒ (UEL-PR) Simplificação de Raízes Tópico resolvido

[RickMath]

Estou com dúvida na seguinte questão:

(UEL-PR) A expressão [tex3]\frac{1}{2-\sqrt2}-\frac{1}{2+\sqrt2}-1[/tex3] é equivalente a:

a) [tex3]-1[/tex3]
b) [tex3]\sqrt2-2[/tex3]
c) [tex3]\sqrt2+2[/tex3]
d) [tex3]\sqrt2-1[/tex3]
e) [tex3]\sqrt2+1[/tex3]

Resposta

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Segundo o meu livro, a resposta correta é a d), mas como chego a este resultado?

[Cássio]

Lembrando que [tex3]\dfrac{a}{b}-\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad-bc}{bd},[/tex3] temos [tex3]\dfrac{1}{2-\sqrt 2}-\dfrac{1}{2+\sqrt 2}=\dfrac{1\cdot(2+\sqrt 2)-1\cdot (2-\sqrt 2) }{(2-\sqrt 2)(2+\sqrt 2)}=\dfrac{2\sqrt 2}{2}=\sqrt 2.[/tex3]

Aí é só subtrair 1 agora.

[RickMath]

Qual é o nome desta regra [tex3]\dfrac{a}{b}-\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad-bc}{bd}[/tex3], e também, é possível resolver com Racionalização, pois é o tema que estou estudando?

[Cientista]

Olá,
Não é bem uma "regra", ele apenas fez m.m.c das incógnitas,ou seja, trocou, de modo que tenhámos mesmo denominadores, consequentemente ele multiplicam o numerador(é uma coisa elementar), e no Exercício não precisamos de usar racionalização. Esse Exercício não é um Exercício necessariamente de racionalização mas está ligado a simplificação de uma expressão. Tirando o m.m.c, temos:
[tex3]\dfrac{1}{2-\sqrt 2}-\dfrac{1}{2+\sqrt 2}=\dfrac{1\cdot(2+\sqrt 2)-1\cdot (2-\sqrt 2) }{(2-\sqrt 2)(2+\sqrt 2)}[/tex3]. Sabemos que pelo caso notável que:
[tex3]a^{2}-b^{2}=(a-b).(a+b)[/tex3] logo [tex3](2-\sqrt 2)\cdot (2+\sqrt 2)=2^{2}-(\sqrt{2})^{2}=4-2=2[/tex3]. Depois teremos [tex3]\sqrt{2}-1[/tex3], lembra que tinhámos aquele -1 do lado, evitamos usar ele para evitar com que a expressão tornasse-se extensa(longa) e com um olhar complexo. A resposta é mesmo letra D.
Espero ter contribuído.

[Cássio]

Sem querer entrar numa discussão inútil, nunca achei "correto" falar que isso é tirar o m.m.c, uma vez que m.m.c é entre números inteiros ou polinômio.

[RickMath]

Obrigado pelo auxílio de vocês dois, consegui entender.