Ensino Superior ⇒ Teoria dos números - valor absoluto Tópico resolvido

[Kaio]

Dados a, b [tex3]\in[/tex3] [tex3]\mathbb{R}[/tex3], mostre que |a + b + c| [tex3]\leq[/tex3] |a| + |b| + |c|

[Cássio]

Dados reais [tex3]a, b,[/tex3] temos que
[tex3]|a+b|^2=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=|a|^2+2ab+|b|^2\le |a|^2+2|a||b|+|b|^2=(|a|+|b|)^2\ \\ \ \\
\Rightarrow |a+b|\le |a|+|b|,[/tex3]
pois [tex3]|a+b|[/tex3] e [tex3]|a|+|b|[/tex3] são não negativos.

Daí, temos [tex3]|a+b+c|=|(a+b)+c|\le |a+b|+|c|\le |a|+|b|+|c|.[/tex3]

[poti]

[tex3]-|a| \leq a \leq |a|[/tex3]
[tex3]-|b| \leq b \leq |b|[/tex3]
[tex3]-|c| \leq c \leq |c|[/tex3]

Somando:

[tex3]-(|a| + |b| + |c|) \leq a + b + c \leq |a| + |b| + |c|[/tex3]

Lembre que:

[tex3]|x| \leq y \rightarrow -y \leq x \leq y[/tex3]
[tex3]-y \leq x \leq y \rightarrow |x| \leq y[/tex3]

Usando a última propriedade, temos [tex3]x = a + b + c[/tex3] e [tex3]y = |a| + |b| + |c|[/tex3]:

[tex3]|a+b+c| \leq |a| + |b| + |c|, \ CQD[/tex3]