Olimpíadas ⇒ Ache todos os números Tópico resolvido

[Cláudio02]

(Olímpiada Cearense de Matemática-2001) Ache todos os números [tex3]x[/tex3], [tex3]y[/tex3] tais que [tex3](1-x)^{2}+(x-y)^{2}+y^{2}=\dfrac{1}{3}[/tex3].

[poti]

Expandindo:

[tex3]2x^2 - 2xy - 2x + 2y^2 + \frac{2}{3} = 0[/tex3]

Multiplicando tudo por [tex3]\frac{2}{3}[/tex3]:

[tex3]\frac{4}{3}x^2 - \frac{4}{3}xy - \frac{4}{3}x + \frac{4}{3}y^2 + \frac{4}{9} = 0[/tex3]

Rearranjando:

[tex3]\frac{4}{3}y^2 - \frac{4}{3}xy + \frac{4}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{4}{9} = 0[/tex3]

[tex3]\frac{4}{3}y^2 - \frac{4}{3}xy + \frac{1}{3}x^2 + (x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{4}{9}) = 0[/tex3]

[tex3]\frac{4}{3}y^2 - \frac{4}{3}xy + \frac{1}{3}x^2 + (x - \frac{2}{3})^2 = 0[/tex3]

[tex3]\frac{1}{3}(4y^2 - 4xy + x^2) + (x - \frac{2}{3})^2 = 0[/tex3]

[tex3]\frac{1}{3}(2y - x)^2 + (x - \frac{2}{3})^2 = 0[/tex3]

Para a soma de dois quadrados resultar em zero, ambos devem valer zero, pois quadrados são sempre positivos. Portanto:

[tex3]x - \frac{2}{3} = 0[/tex3]

[tex3]\boxed{x = \frac{2}{3}}[/tex3]

[tex3]2y - x = 0[/tex3]

[tex3]2y - \frac{2}{3} = 0[/tex3]

[tex3]\boxed{y = \frac{1}{3}}[/tex3]

Abraço!