Ensino Superior ⇒ Limites Indefinidos Tópico resolvido

[Qbit]

[tex3]\lim _{x\rightarrow 1}\frac{\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt[4]{x}-1}[/tex3]

Resposta : 3/4

*Detalhe: Não pode se usar l'hospital.

Abraços!

Agradeço desde já.

Att. Qbit

[Qbit]

Alguém ????

[poti]

[tex3]\sqrt[3]{x} - 1 = (\sqrt[12]{x} - 1)(\sqrt[4]{x} + \sqrt[6]{x} + \sqrt[12]{x} + 1)[/tex3]
[tex3]\sqrt[4]{x} - 1 = (\sqrt[12]{x} - 1)(\sqrt[6]{x} + \sqrt[12]{x} + 1)[/tex3]

Então:

[tex3]\frac{\sqrt[3]{x} - 1}{\sqrt[4]{x} - 1} = \frac{\cancel{\sqrt[12]{x} - 1}}{\cancel{\sqrt[12]{x} - 1}} \cdot \frac{\sqrt[4]{x} + \sqrt[6]{x} + \sqrt[12]{x} + 1}{\sqrt[6]{x} + \sqrt[12]{x} + 1}[/tex3]

[tex3]\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[4]{x} + \sqrt[6]{x} + \sqrt[12]{x} + 1}{\sqrt[6]{x} + \sqrt[12]{x} + 1} = \boxed{\frac{4}{3}}[/tex3]

Sem L'Hospital fica horrível. Essa fatoração é muito específica.

[Qbit]

Obrigadão cara!

Mas eu não entendi da onde tu tirou essas raizes, tu teria como me explicar? ou passar algum link para me dar uma olhada?
Abraços
Att. Qbit

[poti]

Procurei uma fatoração que usasse o MMC dos índices de cada raiz. Como toda fatoração, sai da procura pura, tem pouca teoria. Ninguém usa isso, é coisa de professor que gosta de encher o saco de aluno, já que L'Hospital resolve limites desse tipo com uma linha de conta.

Se estiver interessado, procure materiais sobre fatoração que preparam para Olimpíadas.