IME / ITA ⇒ (ITA - 1978) Função Composta Tópico resolvido

[vinitdasilva]

Sejam ℝ o conjunto dos números reais e f uma função de ℝ em ℝ.
Se [tex3]B\subset \mathbb{R}[/tex3] e o conjunto [tex3]f^{-1}(B)=[/tex3]{[tex3]x\in \mathbb{R} ; f(x)\in B[/tex3]}, então:
a)[tex3]f(f^{-1}(B))\subset B[/tex3]
b)[tex3]f(f^{-1}(B))=B[/tex3] se f é injetora;
c)[tex3]f(f^{-1}(B)) = B;[/tex3]
d)[tex3]f^{-1}(f(B)) = B[/tex3] se f é sobrejetora;
e)n.d.a.

Eu pensei o seguinte:
Se f(x) = y, x é o domínio e y é a imagem;
Então na função fˉ¹(B)={x∈ℝ ; f(x)∈B}
"B é o domínio e f(x) pertence a B é a imagem" e representei o seguinte diagrama:

FUNCAO.png (9.8 KiB) Exibido 3453 vezes

Mas com essas informações eu consegui representar apenas o diagrama de fˉ¹(B) e não de f(fˉ¹(B)).
Como posso representar essa função, "f(fˉ¹(B))", num diagrama? Ou seja, a composta de f com fˉ¹(B). O que seria o domínio disso? Qual é a função f em que fˉ¹(B) está contida?

Esse tipo de questão permite uma melhor visualização do que está acontecendo na função com a representação dos conjuntos do jeito que eu fiz ali em cima. Principalmente porque questiona sobre a parte injetora e sobrejetora da função. O problema foi que eu não consegui desenvolver corretamente os diagramas devido a falta de informações sobre o domínio de f(fˉ¹(B)) ou de fˉ¹(f(B)) (alternativa d).

Eu sei o que representa a função inversa e também a função composta, porém não consigo representá-la no diagrama devido a falta de informações....

[Juniorhw]

Olá,

Essa questão envolve conceitos de imagem direta e inversa, e da teoria de conjuntos.

A resposta é a letra a. Segue a explicação:

Para provarmos que [tex3]f(f^{-1}(B))\subset B[/tex3], basta provarmos que todo elemento [tex3]y[/tex3] de [tex3]f(f^{-1}(B))[/tex3] pertence a [tex3]B[/tex3], ou seja, dado um [tex3]y\in f(f^{-1}(B))[/tex3], devemos provar que [tex3]y\in B[/tex3]

Tome um [tex3]y\in f(f^{-1}(B))[/tex3]. Pela definição de imagem direta, existe [tex3]x\in f^{-1}(B)[/tex3] tal que [tex3]y=f(x)[/tex3]. Como [tex3]x\in f^{-1}(B)[/tex3], temos que, pela definição de imagem inversa, existe [tex3]y\in B[/tex3] tal que [tex3]y=f(x)[/tex3], logo está provado que [tex3]f(f^{-1}(B))\subset B[/tex3].

Observação: a letra c está errada porque [tex3]f(f^{-1}(B))=B[/tex3] apenas quando [tex3]B\in Im(f)[/tex3], ou seja, quando [tex3]B[/tex3] estiver contido na imagem da função [tex3]f[/tex3], veja o porquê:

Para provarmos essa igualdade, devemos mostrar que um conjunto está contido no outro reciprocamente. Já provamos que [tex3]f(f^{-1}(B))\subset B[/tex3]. Para que seja satisfeita a igualdade, [tex3]B\subset f(f^{-1}(B))[/tex3], ou seja, dado um [tex3]y\in B[/tex3], devemos provar que [tex3]y\in f(f^{-1}(B))[/tex3]. Mas se [tex3]y\in B[/tex3], teremos [tex3]x\in f^{-1}(B),\,\,\forall y\in B[/tex3] apenas quando [tex3]B\subset Im(f)[/tex3]. Com essa condição, [tex3]x\in f^{-1}(B)[/tex3] e [tex3]y\in f(f^{-1}(B))[/tex3], portanto [tex3]f(f^{-1}(B))\subset B[/tex3].

Abraço.

[vinitdasilva]

Entendi, você provou que toda a imagem de [tex3]f(f^{-1}(B))[/tex3] está contida em B. Portanto não importa qual o domínio dessa função, pois queremos apenas a imagem dela. Certo?

As alternativas que falam sobre a função ser injetora ou sobrejetora estão erradas apenas porque dizem que "[tex3]f(f^{-1}(B))[/tex3]=B"?

E quanto a alternativa D? eu fiz ela assim: o domínio de [tex3]f^{-1}(B)[/tex3] é a imagem de [tex3]f(B)[/tex3]. Portanto a imagem de [tex3]f(B)[/tex3] não pertence a B, já que o domínio de [tex3]f^{-1}(B)[/tex3] é x [tex3]\in \mathbb{R}[/tex3].
Tá certo?

[Juniorhw]

O domínio foi dado, é o conjunto dos números reais. A alternativa (b) está errada, pois para isso ser correto, [tex3]B\subset Im(f)[/tex3], como provei anteriormente. Por isso a (c) também está errada e a (d) é um pouquinho diferente porque nessa [tex3]B[/tex3] está no domínio e não no contradomínio. Vamos tentar mostrar quando que ela é verdade:

Para dois conjuntos serem iguais o primeiro deve estar contido no segundo e o segundo deve estar contido no primeiro, como fiz antes, ou seja:

(I) [tex3]f^{-1}(f(B))\subset B[/tex3] e (II) [tex3]B\subset f^{-1}(f(B))[/tex3]

Para o caso (I):

Se tivermos um [tex3]x\in f^{-1}(f(B))[/tex3], teremos [tex3]y\in f(B)[/tex3] e, com isso, teremos um [tex3]x\in B[/tex3]. Logo o primeiro está provado (lembrando que um conjunto está contido no outro quando todos os seus elementos pertencem ao outro).

Para o caso (II):

Dado um [tex3]x\in B[/tex3], teremos um [tex3]y\in f(B)[/tex3]. Pela definição de imagem inversa, teremos então um [tex3]x\in f^{-1}(f(B))[/tex3], logo o caso (II) está provado.

Como os dois casos são verdade, [tex3]f^{-1}(f(B)) = B[/tex3] é sempre verdade, ou seja, a função não precisa ser sobrejetora, por isso a (d) é falsa.

Para facilitar o entendimento da resposta correta veja a imagem:

Sem título.png (13.37 KiB) Exibido 3440 vezes

Pegamos [tex3]B=\left\{[-1,4]\right\}[/tex3] e [tex3]f(x)=x^2[/tex3]

O que é [tex3]f^{-1}(B)[/tex3]? É o intervalo dos valores de [tex3]x[/tex3] tal que [tex3]y=f(x)[/tex3], sendo [tex3]y\in B[/tex3]. Na imagem, veja que [tex3]f^{-1}(B)=\left\{[-2,2]\right\}[/tex3]. Agora se fizermos [tex3]f(f^{-1}(B))=f(\left\{[-2,2]\right\})[/tex3], teremos o intervalo [tex3]\left[0,4\right][/tex3]. Veja que [tex3]\left\{\left[0,4\right]\right\}\subset \left\{\left[-1,4\right]\right\}[/tex3], ou seja, [tex3]f(f^{-1}(B))\subset B[/tex3]

Observe que se pegarmos um [tex3]y\in B[/tex3] tal que [tex3]y<0[/tex3], ou seja, [tex3]-1\leq y<0[/tex3], não teremos valores de [tex3]f^{-1}(B)[/tex3], por isso a igualdade [tex3]f(f^{-1}(B))=B[/tex3] só vale quando [tex3]B\subset Im(f)[/tex3]

Qualquer dúvida não esqueça de perguntar,

Abraço.

[poti]

Eu olhei a questão de dia e subitamente a vi apagada. Agora reapareceu.

Só queria notar uma coisa interessante: não pode ser a letra c, pois ela automaticamente reafirma a letra a, sendo que só podemos ter uma correta. Na verdade são apenas três alternativas viáveis para escolha.

[vinitdasilva]

Fico meio confuso com todas essas informações. Vou tentar resumir o que eu entendi.
Pra responder essa questão eu tenho que ter em mente duas informações chaves:
Primeira: [tex3]f(f^{-1}(B))=B[/tex3] [tex3]\leftrightarrow[/tex3] [tex3]B\subset Im(f)[/tex3]
Segunda: [tex3]A=B \leftrightarrow A\subset B[/tex3] e [tex3]B \subset A[/tex3]

Sabendo da primeira, você prova que a letra A e C estão erradas, pois B [tex3]\notin[/tex3][tex3]Im(f)[/tex3].
[tex3]f(f^{-1}(B))=B[/tex3].

Prova: [tex3]B\subset f(f^{-1}(B)) \rightarrow y\in B \subset y\in f(f^{-1}(B))[/tex3]
Porém, temos que [tex3]B\in f^{-1}(B),\,\,\forall y\in B \leftrightarrow B\subset Im(f)[/tex3]
O que não é verdade pois temos (no enunciado) [tex3]f^{-1}(B)=x\in \mathbb{R} ; f(x)\in B[/tex3]

Para a letra D, você usou a segunda informação e provou os dois casos:
[tex3]f^{-1}(f(B))\subset B[/tex3] e [tex3]B\subset f^{-1}(f(B))[/tex3]
Sendo assim: [tex3]f^{-1}(f(B)) = B[/tex3] é sempre verdade, ou seja, a função não precisa ser sobrejetora.

Bom, foi isso que eu entendi. Corrija-me se coloquei algo errado. Mas é uma questão um tanto quanto trabalhosa.... não? Provar todos esses conceitos em pouco tempo não é uma tarefa fácil.

Nessa resolução aqui, foi representado tudo em diagramas. Acho que depois da sua explicação ficou mais claro pra entender.

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Obrigado!