Pré-Vestibular ⇒ (Bahiana) Geometria Espacial

[PedroCunha]

Olá, amigos.

Os antioxidantes são um dos grandes chamarizes das indústrias de cosméticos e suplementos alimentares, que alegam que essas substâncias têm a propriedade de combater os chamados radicais livres, que provocariam o envelhecimento. Considere a embalagem de um determinado cosmético projetada com a forma de um cone reto representado na figura, de altura [tex3]h[/tex3] cm e cuja base é uma elipse com eixos maior e menor medindo, em cm, [tex3]2a[/tex3] e [tex3]2b[/tex3], respectivamente, e área dada por [tex3]A = ab\pi \,\, cm^2[/tex3]. Sendo [tex3]VM = VN = 4\sqrt{10} \,\,cm[/tex3] e [tex3]\theta = 30^{\circ}[/tex3] e supondo que a embalagem tenha capacidade para a [tex3]6\sqrt{37} \pi[/tex3] ml, determine os valores de [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3].

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Minha tentativa ( não possuo gabarito ):

No triângulo retângulo formado por [tex3]VM[/tex3], a metade da base e a altura do cone:

[tex3]\sin \frac{\theta}{2} = \frac{a}{VM} \therefore 4\sqrt{10} \cdot \sin 15^{\circ} = a \rightarrow a = 2 \cdot (\sqrt{15} - \sqrt5)[/tex3]

Aplicando Pitágoras para encontrar a altura:

[tex3](VM)^2 = h^2 + a^2 \therefore 160 - 4(20-10\sqrt3)=h^2 \rightarrow h = 2\sqrt{20+10\sqrt3}[/tex3]

Aplicando a fórmula do volume e encontrando [tex3]b[/tex3]:

[tex3]6\sqrt{37}\pi = \frac{2 \cdot (\sqrt{15}-\sqrt5) \cdot b \cdot 2\sqrt{20+10\sqrt3} \cdot \pi }{3} \therefore b = \frac{9\sqrt{37}}{2 \cdot (\sqrt{300+150\sqrt3} - \sqrt{100+50\sqrt3})} \\\\ \Leftrightarrow b = \frac{9\sqrt{37}}{20}[/tex3]

Alguém poderia confirmar se fiz corretamente?

Fiquei em dúvida também pois ao fazer da seguinte maneira:

[tex3]\frac{VM \cdot VN \cdot \sin \theta}{2} = \frac{MN \cdot h}{2} \therefore (4\sqrt{10})^2 \cdot \frac{1}{2} = 2a \cdot h \therefore h = \frac{40}{a}[/tex3]

Substituindo encontro 4 valores diferentes para [tex3]a[/tex3].

Enfim... agradeço a atenção.

Abraços,
Pedro

[PedroCunha]

Up!

[Imperial]

Olá Pedro!

O cálculo do volume deste cone segue o mesmo princípio do cálculo de um cone normal, certo? (Area da base multiplicada pela altura, dividido por 3?)

Caso seja, vou tentar aqui rsrs

Abraços!

[PedroCunha]

Sim!

Valeu!

[poti]

O que garante que [tex3]sen(\frac{\theta}{2}) = \frac{a}{VM}[/tex3]? M e N não podem estar nas extremidades do eixo menor?

[PedroCunha]

Bom, Poti, pela forma da elipse, MN parece ser o eixo maior e como o enunciado não informou nada, creio que temos que usar o 'olhômetro'.