Pré-Vestibular ⇒ (UFMG - 2000) Geometria Analítica: Circunferência e Reta

[Natan]

Observe a figura.

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Nessa figura, reta [tex3]r[/tex3] determina uma corda [tex3]\overline{AB},[/tex3] de comprimento [tex3]4\sqrt{6},[/tex3] na circunferência de equação [tex3]x^2-18x+y^2-16y+96=0.[/tex3] Além disso, a reta [tex3]r[/tex3] faz com o eixo [tex3]x[/tex3] um ângulo [tex3]\theta[/tex3] tal que [tex3]\text{tg}\,\theta=\frac{3}{4}[/tex3] e intersecta o eixo [tex3]y[/tex3] em um ponto de ordenada positiva.
Determine a equação da reta [tex3]r.[/tex3]

[Karl Weierstrass]

Seja [tex3]y\,=\,mx\,+\,k[/tex3] a equação procurada.

Do enunciado temos que [tex3]m\,=\,\text{tg}\,\theta\,=\,\Large\frac{3}{4}\large.[/tex3]

Completando os quadrados em

• [tex3]x^2\,-\,18x\,+\,y^2\,-\,16y\,+\,96\,=\,0,[/tex3]

obtemos

• [tex3](x\,-\,9)^2\,+\,(y\,-\,8)^2\,=\,49\, \Longrightarrow \,O(9,\,8)[/tex3] e [tex3]r\,=\,7.[/tex3]

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Sabendo que a distância de um ponto [tex3]P(x_0,\,y_0)[/tex3] à reta [tex3]ax\,+\,by\,+\,c\,=\,0[/tex3] é dada por

• [tex3]d\,=\,\Large\frac{|ax_0\,+\,by_0\,+\,c|}{\sqrt{a^2\,+\,b^2}}\large,[/tex3]

segue que

• [tex3]d\,=\,\Large\frac{|4k-5|}{5}\large.[/tex3]

Como [tex3]OC[/tex3] é perpendicular a [tex3]AB[/tex3] e [tex3]C[/tex3] é o ponto médio de [tex3]AB,[/tex3] temos que [tex3]\overline{BC}=2\sqrt 6.[/tex3]

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo [tex3]OBC[/tex3] encontramos [tex3]k\,=\,\Large\frac{15}{2}\large.[/tex3]