Ensino Médio ⇒ (FGV-SP)Pontos e Segmentos Notáveis dos Triângulos Tópico resolvido

[retlaw]

Bom dia galera!!!!Estou precisando da ajuda de vocês com essa questão, desde já agradeço a todos do fórum.

Dados dois pontos distintos [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3] de um plano, os pontos X desse plano que satisfazem a condição [tex3]AX=2.BX[/tex3] pertencem todos a uma mesma circunferência. A expressão do raio da circunferência em função do comprimento [tex3]d[/tex3] do segmento [tex3]\overline{AB}[/tex3] é:

a) [tex3]\frac{d}{2}[/tex3]

b) [tex3]\frac{2}{d}[/tex3]

c)[tex3]2d[/tex3]

d)[tex3]d[/tex3]

e)[tex3]\frac{2d}{3}[/tex3]

Resposta

---

Resposta: e

[Juniorhw]

Os pontos dados são:
[tex3]A(x_a,y_a)\\B(x_b,y_b)\\X(x,y)[/tex3]

Pelo enunciado, [tex3]AX=2BX[/tex3], ou seja, pela distância entre pontos:
[tex3]\sqrt{(x_a-x)^2+(y_a-y)^2}=2\sqrt{(x_b-x)^2+(y_b-y)^2}\\\\(x_a-x)^2+(y_a-y)^2=4\left[(x_b-x)^2+(y_b-y)^2\right]\\\\x_a^2-2x_ax+x^2+y_a^2-2y_ay+y^2=4x_b^2-8x_bx+4x^2+4y_b^2-8y_by+4y^2\\\\3x^2+x(-8x_b+2x_a)+3y^2+y(-8y_b+2y_a)+4y_b^2+4x_b^2-y_a^2-x_a^2=0\\\\x^2+\frac{x(-8x_b+2x_a)}{3}+y^2+\frac{y(-8y_b+2y_a)}{3}+\frac{4y_b^2+4x_b^2-y_a^2-x_a^2}{3}=0[/tex3]

A equação da circunferência de raio [tex3]R[/tex3] e centro [tex3](x_0,y_0)[/tex3] é:
[tex3]x^2-2x_0x+y^2-2y_0y+x_0^2+y_0^2-R^2=0[/tex3]

Comparando com a equação anterior, temos:

[tex3]-2x_0=\frac{-8x_b+2x_a}{3}\Leftrightarrow x_0=\frac{4x_b-x_a}{3}\\\\-2y_0=\frac{-8y_b+2y_a}{3}\Leftrightarrow y_0=\frac{4y_b-y_a}{3}[/tex3]

Essas são as coordenadas do centro de nossa circunferência.

Temos também:

[tex3]x_0^2+y_0^2-R^2=\frac{4y_b^2+4x_b^2-y_a^2-x_a^2}{3}\\\\\left(\frac{4x_b-x_a}{3}\right)^2+\left(\frac{4y_b-y_a}{3}\right)^2-R^2=\frac{4y_b^2+4x_b^2-y_a^2-x_a^2}{3}\\\\R^2=\frac{16x_b^2-8x_bx_a+x_a^2+16y_b^2-8y_by_a+y_a^2-12y_b^2-12x_b^2+3y_a^2+3x_a^2}{9}\\\\R^2=\frac{4x_b^2-8x_bx_a+4x_a^2+4y_b^2-8y_by_a+4y_a^2}{9}\\\\R^2=\frac{4(x_b-x_a)^2+4(y_b-y_a)^2}{9}\\\\R=\frac{2}{3}\sqrt{(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2}\\\\\boxed{\boxed{R=\frac{2d}{3}}}[/tex3]

Abraço.