IME / ITA ⇒ (Simulado IME 2014) Soluções reais

[gabriel93]

Encontre todos os números reais [tex3]x[/tex3] para os quais vale:

[tex3]\sqrt{\dfrac{x-7}{1989}} + \sqrt{\dfrac{x-6}{1990}} + \sqrt{\dfrac{x-5}{1991}} = \sqrt{\dfrac{x-1989}{7}} + \sqrt{\dfrac{x-1990}{6}} + \sqrt{\dfrac{x-1991}{5}}[/tex3]

[poti]

[tex3]\sqrt{\dfrac{x-7}{1996 - 7}} + \sqrt{\dfrac{x-6}{1996 - 6}} + \sqrt{\dfrac{x-5}{1996 - 5}} = \sqrt{\dfrac{x-1989}{1996 - 1989}} + \sqrt{\dfrac{x-1990}{1996 - 1990}} + \sqrt{\dfrac{x-1991}{1996 - 1991}}[/tex3]

[tex3]x < 1996[/tex3] não funciona, pois teremos raízes negativas.
[tex3]x = 1996[/tex3] funciona, pois resulta em [tex3]3 = 3[/tex3].
[tex3]x > 1996[/tex3] não funciona, pois:

[tex3]\sqrt{\dfrac{1989+k}{1989}} + \sqrt{\dfrac{1990+k}{1990}} + \sqrt{\dfrac{1991+k}{1991}} = \sqrt{\dfrac{7+k}{7}} + \sqrt{\dfrac{6+k}{6}} + \sqrt{\dfrac{5+k}{5}}, \ k > 0[/tex3]

[tex3]\sqrt{1+\dfrac{k}{1989}} + \sqrt{1+\dfrac{k}{1990}} + \sqrt{1+\dfrac{k}{1991}} = \sqrt{1+\dfrac{k}{7}} + \sqrt{1+\dfrac{k}{6}} + \sqrt{1+\dfrac{k}{5}}, \ k > 0[/tex3]

Perceba que o lado direito cresce muito mais rápido que o esquerdo.

[tex3]\boxed{S = \{ 1996 \} }[/tex3]