Ensino Superior ⇒ Geometria Analítica - Planos/Retas Tópico resolvido

[Kaio]

Obter equações paramétricas das retas nos casos:
A- A reta passa por A(-1, 0, 2) e é paralela a cada um dos planos
[tex3]\pi[/tex3]: 2x + y + z + 1 = 0
[tex3]\pi 2[/tex3]: x - 3y - z - 5 = 0.

B- A reta passa pela origem, é ortogonal à reta r: 2x = y = 3z e paralela ao plano [tex3]\pi[/tex3]: x - y - z + 2 = 0.

[Cardoso1979]

Observe

Obter equações paramétricas da reta no caso:

A- A reta passa por A(-1, 0, 2) e é paralela a cada um dos planos
[tex3]\pi 1[/tex3]: 2x + y + z + 1 = 0
[tex3]\pi 2[/tex3]: x - 3y - z - 5 = 0.

Uma solução:

Do enunciado, como a reta (r) é procurada passa por A( - 1 , 0 , 2 ) , então a nossa reta terá a seguinte cara:

....{ x = - 1 + a.t
r : { y = b.t
....{ z = 2 + c.t.

Basta agora encontrarmos o vetor diretor [tex3]\vec{v}[/tex3] = ( a , b , c ). Como o vetor diretor [tex3]\vec{v}[/tex3] da reta é simultaneamente ortogonal aos vetores normais dos planos π[tex3]_{1}[/tex3] e π[tex3]_{2}[/tex3] , podemos encontrar o vetor [tex3]\vec{v}[/tex3] da seguinte forma, calculando o produto vetorial entre os vetores normais:

[tex3]\vec{v} = \vec{n}_{1} × \vec{n}_{2}[/tex3].

Temos então que os vetores normais aos planos
π[tex3]_{1}[/tex3] e π[tex3]_{2}[/tex3] são respectivamente;

[tex3]\vec{n}_{1}[/tex3] = ( 2 , 1 , 1 ) e [tex3]\vec{n}_{2}[/tex3] = ( 1 , - 3 , - 1 ).

Assim,

[tex3]\vec{v} = \vec{n}_{1} × \vec{n}_{2} = \left| \begin{array}{rcr}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
2 & 1 & 1\\
1 & -3 & -1
\end{array} \right| = 2.\vec{i} + 3.\vec{j} - 7.\vec{k}[/tex3]

Logo, o vetor diretor da reta r é:

[tex3]\vec{v}[/tex3] = ( a , b , c ) = ( 2 , 3 , - 7 ).

Portanto a reta procurada é:

....{ x = - 1 + 2t
r : { y = 3t
....{ z = 2 - 7t.


Excelente estudo!