Pré-Vestibular ⇒ (PUC) Função seno e cosseno. Tópico resolvido

[gutosurff]

35) O valor de (Cos² 1º + cos² 2º + ...+ cos² 89º) - (sen² 1º + sen² 2º + ... + sen² 89º ) é:

[csmarceloMOD]

[tex3](\cos^21^\circ+\cos^22^\circ+...+\cos^288^\circ+\cos^289^\circ)-(\sin^21^\circ+\sin^22^\circ+...+\sin^288^\circ+\sin^289^\circ)=[/tex3]
[tex3]=\cos^21^\circ+\cos^22^\circ+...+\cos^288^\circ+\cos^289^\circ-\sin^21^\circ-\sin^22^\circ-...-\sin^288^\circ-\sin^289^\circ=[/tex3]
[tex3]=\cos^21^\circ-\sin^289^\circ+\cos^22^\circ-\sin^288^\circ+...+\cos^288^\circ-\sin^22^\circ+\cos^289^\circ-\sin^21^\circ[/tex3]

Repare que, aos pares, temos ângulos complementares. Quando dois ângulos [tex3]\alpha[/tex3] e [tex3]\beta[/tex3] são complementares, [tex3]\sin\alpha=\cos\beta[/tex3] e [tex3]\cos\alpha=\sin\beta[/tex3].

Logo,

[tex3]\cos^21^\circ-\sin^289^\circ+\cos^22^\circ-\sin^288^\circ+...+\cos^288^\circ-\sin^22^\circ+\cos^289^\circ-\sin^21^\circ=[/tex3]
[tex3]=\cos^21^\circ-\cos^21^\circ+\cos^22^\circ-\cos^22^\circ+...+\cos^288^\circ-\cos^288^\circ+\cos^289^\circ-\cos^289^\circ=0[/tex3]