Ensino Médio ⇒ Segmentos Proporcionais Tópico resolvido

[poti]

Na figura a seguir, o triângulo ABC é equilátero, com um perímetro de 60cm, M é o ponto médio do lado AB e CS = 12cm. Calcule a medida do segmento CN.

2.png (3.4 KiB) Exibido 4053 vezes

[Juniorhw]

Fiz da seguinte forma:

Sem título.png (12.5 KiB) Exibido 4040 vezes

Fazendo semelhança de triângulos entre [tex3]\triangle MDS[/tex3] e [tex3]\triangle NES[/tex3]:

[tex3]\frac{MD}{NE}=\frac{DS}{ES}\\\\\\\frac{10\cdot \sin60^\circ}{NE}=\frac{32-10\cdot \cos 60^\circ}{EC+12}\\\\\\\frac{5\sqrt{3}}{NE}=\frac{27}{EC+12}[/tex3]

Semelhança de triângulos entre [tex3]\triangle NEC[/tex3] e [tex3]\triangle MBD[/tex3]:

[tex3]\frac{MD}{NE}=\frac{BD}{EC}\\\\\\\frac{10\cdot \sin60^\circ}{NE}=\frac{10\cdot \cos 60^\circ}{EC}\\\\\\\frac{5\sqrt{3}}{NE}=\frac{5}{EC}[/tex3]

Portanto:

[tex3]\frac{27}{EC+12}=\frac{5}{EC}\\\\\\EC=\frac{30}{11}\\\\\\\frac{5\sqrt{3}}{NE}=\frac{55}{30}\\\\\\NE=\frac{150\sqrt{3}}{55}[/tex3]

Pitágoras em [tex3]\triangle NEC[/tex3]:

[tex3]NC^2=\left(\frac{30}{11}\right)^2+\left(\frac{150\sqrt{3}}{55}\right)^2\\\\\\\boxed{NC=\frac{60}{11}}[/tex3]