Pré-Vestibular ⇒ (UFMA - 2007) Função Composta

[jose carlos de almeida]

Seja [tex3]g(x)=\frac{3x+5}{5x-3}[/tex3] definida para todo x [tex3]\in \mathbb{R} - \{-\frac{3}{5}\}.[/tex3] Se [tex3]n \in \mathbb{N}[/tex3] e [tex3]g^n[/tex3] denota a composta da função consigo própria [tex3]n-[/tex3] vezes então o valor de [tex3]g^{100}(1) \cdots g^{99}(1)[/tex3] é:

a) [tex3]1[/tex3]
b) [tex3]{-}3[/tex3]
c) [tex3]0[/tex3]
d) [tex3]3[/tex3]
e) [tex3]{-}1[/tex3]

[Thales Gheós]

[tex3]g(x)=\frac{3x+5}{5x-3}[/tex3]

por indução,

[tex3]g^1(x)=\frac{3(3x+5)+5}{5(5x-3)-3}\Rightarrow g^1(x)=\frac{9x+20}{25x-18}[/tex3]

[tex3]g^2(x)=\frac{9(3x+5)+20}{25(5x-3)-18} \Rightarrow g^2(x)=\frac{27x+50}{125x-93}[/tex3]
.
.
.
[tex3]g^n(x)=\frac{3^{(n+1)}x+5(3^{n}+1)}{5^{(n+1)}x-3(5^n+1)}[/tex3]

não entendi bem o que é [tex3]g^{100}(1)..g^{99}(1)[/tex3] mas suponho que é uma operação qualquer. Creio que você pode concluir.