IME / ITA ⇒ (EsPCEx - 1996) Função Modular

[PréIteano]

Seja a função [tex3]f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}[/tex3], definida por [tex3]f(x) = 2x + |x+1| - |2x-4|[/tex3]. O valor de [tex3]f^{-1}(30)[/tex3] é:

a) 6
b) 20
c) 25
d) 35
e) 10

[csmarceloMOD]

[tex3]|x+1|=\begin{cases}x+1,\text{ para }x\geq-1\\-x-1,\text{ para }x<-1\end{cases}[/tex3]
[tex3]|2x-4|=\begin{cases}2x-4,\text{ para }x\geq2\\4-2x,\text{ para }x<2\end{cases}[/tex3]

Combinando os intervalos,

[tex3]f(x)=\begin{cases}2x+(x+1)-(2x-4)=x+5,\text{ para }x\geq2\\2x+(x+1)-(4-2x)=5x-3,\text{ para }-1\leq x<2\\2x+(-x-1)-(4-2x)=3x-5,\text{ para }x\leq-1\end{cases}[/tex3]

Repare que o valor numérico [tex3]30\in Im(f)[/tex3] é obtido apenas quando:

[tex3]f(x)=x+5\rightarrow f^{-1}(x)=x-5\rightarrow f^{-1}(30)=30-5=25[/tex3]