IME / ITA ⇒ (ITA - 1981) Números Complexos: Forma Trigonométrica Tópico resolvido

[Daniel Hartmann]

Sejam [tex3]a[/tex3] e [tex3]k[/tex3] constantes reais, sendo [tex3]a > 0[/tex3] e [tex3]0 < k < 1.[/tex3] De todos os números complexos [tex3]z[/tex3] que satisfazem a relação [tex3]|z - ai| \leq ak,[/tex3] qual é o de menor argumento?

a) [tex3]z=ak\sqrt{1-k^2}+ia(1-k^2)[/tex3]
b) [tex3]z=k\sqrt{1-k^2}-ia(1-k^2)[/tex3]
c) [tex3]z=k\sqrt{1-k^2}-i\sqrt{1-k^2}[/tex3]
d) [tex3]z=-k\sqrt{1-k^2}-ia(1-k^2)[/tex3]
e) [tex3]z=a + ik[/tex3]

Resposta:

---

a

[marco_sx]

Olá Daniel.

O lugar geométrico de [tex3]z[/tex3] para [tex3]\mid z-ai\mid \leq ak[/tex3] é uma circunferência e círculo com centro [tex3](0,a)[/tex3] e raio [tex3]ak[/tex3].
Como [tex3]a>ak,[/tex3] o vetor que representa o número [tex3]z[/tex3] de menor argumento deve ser tangente à circunferência pela direita.
Temos então o triângulo retângulo de hipotenusa [tex3]a[/tex3] e catetos [tex3]ak[/tex3] e [tex3]|z|.[/tex3]

• [tex3]| z|^2+(ak)^{2}=a^{2}\Rightarrow | z |=a\sqrt{1-k^2}[/tex3]
  [tex3]\text{arg}(z)=\theta[/tex3]
  [tex3]z=x+yi[/tex3]
  [tex3]cos\theta=\frac{x}{| z|}=\frac{ak}{a} \Rightarrow x=ak\sqrt{1-k^2}[/tex3]
  [tex3]\text{sen}\theta=\frac{y}{| z |}=\frac{| z|}{a} \Rightarrow y=a(1-k^2)[/tex3]

Portanto,

• [tex3]z=ak\sqrt{1-k^{2}}+a(1-k^{2})i.[/tex3]

[Daniel Hartmann]

Olá marco_sx,

Acho que entendi. Nós procuramos por um complexo [tex3]z,[/tex3] tal que [tex3]|z - ai| \leq ak.[/tex3] Então, todos os pontos do círculo com centro em [tex3](0,a)[/tex3] e raio igual a [tex3]ak[/tex3] representarão os complexos [tex3]z,[/tex3] com módulo [tex3]|z|.[/tex3] Agora, para que tenhamos o complexo com o menor argumento (e portanto, com o maior cosseno), basta que esse módulo seja tangente ao círculo, tangência essa expressada no primeiro quadrante do plano de Argand-Gauss. Então, por semelhança de triângulos encontra-se finalmente o complexo [tex3]z.[/tex3]

[Smasher]

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